4.1.2 利用二分法求方程的近似解 教案1.doc

利用二分法求方程的近似解教案一教学目标知识与技能解二分法求解方程的近似解的思想方法会用二分法求解具体方程的近似解体会程序化解决问题的思想为算法的学习作准备过程与方法让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想让学生归纳整理本节所学的知识情感态度与价值观体会二分法的程序化解决问题的思想认识二分法的价值所在使学生更加热爱数学培养学生认真耐心严谨的数学品质二教学重点难点重点用二分法求解函数的零点近似值的步骤难点为何由便可判断零点的近似值为或自学导引在一个风雨交加的夜里从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条长的线路如果沿着线路一小段一小段查找困难很多每查一点要爬一次电线杆子长大约有多根电线杆子如图问题维修线路的工人师傅怎样工作最合理提示首先从的中点查随带话机向两端测试若发现正常断定故障在段再取中点再测和问题在有限次重复相同的步骤下能否最快地查出故障提示能新知自解对于在区间上连续不断且的函数通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值的方法叫作二分法二分法就是通过不断逼近的方法找到零点附近足够小的区间根据所要求的精确度用此区间的某个数值近似地表示零点如图把握热点考向高频考点题组化考点一方程近似解的求法例利用计算器求方程的近似解精确到思路点拨解答本题可首先确定的根的大致区间的图像可以作出由图像确定根的大致区间再用二分法求解精解详析作出的图像可以发现方程有唯一解记为并且解在区间内设用计算器计算得在区间中的值精确到均为近似解为一点通用二分法求方程的近似解首先要选好计算的初始区间这个区间既要包含所求的根又要使其长度尽量小其次要依据给定的精确度及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求达到给定的精确度以决定是停止计算还是继续计算题组集训设用二分法求方程在内近似解的过程中得则方程的根落在区间内内内不能确定解析由题意知在内连续且所以方程的根在内答案求方程在的一个实根精确到解设方程在内有实数解用二分法逐次计算列表如下次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第次第次第次第次第次至此可以看出内的所有值若精确到都是方程在区间的实数解精确到的近似解是考点二求函数的一个近似零点例用二分法求函数的一个正零点精确到思路点拨选定区间用二分法逐次计算验证区间两端点函数值精确到后相等取正零点精解详析由于因此可取区间作为计算的初始区间用二分法逐次计算见表如下次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第次第次第次第次第次第次第次第次第次第次因为区间内的所有值若精确到都是所以就是所求函数一个精确到的正零点的近似值一点通二分法求解步骤确定区间验证初始区间的选择不宜过大否则易增加运算的次数求区间的中点计算若则就是函数的零点若则令此时零点若则令此时零点判断的两端的近似值是否相等若相等得零点的近似解否则重复步特别注意要运算彻底题组集训为求函数在内的零点的近似值精确到已得到数据如下表次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第次第次第次第次第次第次第次根据以上数据确定取内的近似零点解由表中数据可知区间内的所有值若精确到都是所以是函数精确到的零点近似值求函数的一个为正数的零点精确到解由于可取区间作为计算的初始区间用二分法逐次计算列表如下计算次数左端点右端点由上表可知区间中的每一个数精确到都等于所以就是函数的一个误差不超过的正数零点考点三二分法的实际应用例如图有一块边长为的正方形铁皮将其四个角各截去一个边长为的小正方形然后折成一个无盖的盒子求出盒子的体积以为自变量的函数解析式并讨论这个函数的定义域如果要做成一个容积是的无盖盒子那么截去的小正方形的边长是多少精确到思路点拨先求出体积关于的函数再用二分法求近似解精解详析盒子的体积以为自变量的函数解析式为其定义域为如果要做成一个容积是的无盖盒子那么有方程令函数图像如图所示21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站由图像可以看到函数分别在区间和内各有一个零点即方程分别在区间和内各有一个解下面用二分法求方程的近似解取区间的中点用计算器可算得因为所以再取的中点用计算器可算得因为所以同理可得因为区间内的所有值若精确到都是所以就是所求函数的近似解同理可得方程在区间内精确到的近似解为答如果要做成一个容积是的无盖盒子截去的小正方形的边长大约是或一点通二分法在实际生活中经常用到如在平时的线路故障气管故障等检查中可以利用二分法较快地得到结果还可用于实验设计资料查询等方面在用二分法解决实际问题中应考虑两个方面一是转化为方程的根或函数的零点二是逐步缩小范围逼近问题的解题组集训中央电视台有一档娱乐节目幸运主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会如果猜中就把物品奖励给选手同时获得一枚商标某次猜一种品牌的手机手机价格在元之间选手开始报价元主持人回答高了紧接着报价元高了元低了元低了元高了元低了元恭喜你猜中了表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分实际中游戏报价过程体现了逼近的数学思想你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗解取价格区间的中点如果主持人说低了就再取的中点否则取另一个区间的中点若遇到小数取整数照这样的方案游戏过程猜测价如下经过次可以猜中价格现有个小球从外观上看完全相同除了个小球质量不合标准外其余的小球质量均相同用一架天平无砝码限称三次把这个坏球找出来并说明此球是偏轻还是偏重如何称解先在天平左右各放个球有两种情况若平则坏球在剩下的球中再取此球中的球为一边取个好球为另一边放在天平上若仍平则坏球为球中未取到的那个球将此球与个好球放上天平比一比即知坏球是轻还是重若不平则坏球在一边球之中且知是轻还是重任取其中球放在天平上无论平还是不平均可确定坏球若不平则坏球在天平上的球中不妨设右边较重从右边球中取出球置于一容器内然后从左边球中取球移入右边再从外面好球中取个补入左边看天平有三种可能若平则坏球是容器内球之一且偏重若左边重坏球已从一边换到另一边因此坏球只能是从左边移入右边的球之一并且偏轻若右边重据此知坏球未变动位置而未被移动过的球只有两个左右各一坏球是其中之一暂不知是轻还是重显然对于以上三种情况的任一种再用天平称一次即可找出坏球且知其是轻还是重判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图像在零点附近是连续不断的且该零点为变号零点所谓变号零点即变量在零点两侧取值时函数值符号相反因此用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合对函数的不变号零点不适用二分法的实质是通过取中点不断缩小零点所在区间的范围当达到一定精确度要求时所得区间内的任意一点就是零点的近似值在计算时要注意以下两点选好计算的初始区间保证所选区间既要符合条件又要使其长度尽量小计算时要注意依据给定的精确度及时检验计算所得的区间是否满足这一精确度二分法的思想虽然简单但是在具体使用时有一定的局限性函数在区间内有几个零点时使用二分法只能一次求得一个零点即使在区间内有零点也未必成立