2014年福建高考理科数学试卷及答案解析(Word)

年福建省高考数学试卷理科一选择题本大题共小题每小题分共分在每个题给出的四个选项中只有一项是符合要求的分福建复数的共轭复数等于分福建某空间几何体的正视图是三角形则该几何体不可能是圆柱圆锥四面体三棱柱分福建等差数列的前项和为若则等于分福建若函数且的图象如图所示则下列函数图象正确的是分福建阅读如图所示的程序框图运行相应的程序输出的的值等于分福建直线与圆相交于两点则是的面积为的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件分福建已知函数则下列结论正确的是是偶函数是增函数是周期函数的值域为分福建在下列向量组中可以把向量表示出来的是分福建设分别为圆和椭圆上的点则两点间的最大距离是分福建用代表红球代表蓝球代表黑球由加法原理及乘法原理从个红球和个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来如表示一个球都不取表示取出一个红球而则表示把红球和蓝球都取出来以此类推下列各式中其展开式可用来表示从个无区别的红球个无区别的蓝球个有区别的黑球中取出若干个球且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是二填空题本大题共小题每小题分共分把答案填在答题卡的相应位置分福建若变量满足约束条件则的最小值为分福建在中则的面积等于分福建要制作一个容器为高为的无盖长方形容器已知该容器的底面造价是每平方米元侧面造价是每平方米元则该容器的最低总造价是单位元分福建如图在边长为为自然对数的底数的正方形中随机撒一粒黄豆则它落到阴影部分的概率为分福建若集合且下列四个关系有且只有一个是正确的则符合条件的有序数组的个数是三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分福建已知函数若且求的值求函数的最小正周期及单调递增区间分福建在平面四边形中将沿折起使得平面平面如图求证若为中点求直线与平面所成角的正弦值分福建为回馈顾客某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励规定每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额若袋中所装的个球中有个所标的面值为元其余个均为元求顾客所获的奖励额为元的概率顾客所获的奖励额的分布列及数学期望商场对奖励总额的预算是元并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成或标有面值元和元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计并说明理由分福建已知双曲线的两条渐近线分别为求双曲线的离心率如图为坐标原点动直线分别交直线于两点分别在第一第四象限且的面积恒为试探究是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线若存在求出双曲线的方程若不存在说明理由分福建已知函数为常数的图象与轴交于点曲线在点处的切线斜率为求的值及函数的极值证明当时证明对任意给定的正数总存在使得当时恒有在题中考生任选题作答满分分如果多做则按所做的前两题计分作答时先用铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑并将所选题号填入括号中选修矩阵与变换分福建已知矩阵的逆矩阵求矩阵求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量五选修极坐标与参数方程分福建已知直线的参数方程为为参数圆的参数方程为为常数求直线和圆的普通方程若直线与圆有公共点求实数的取值范围六选修不等式选讲福建已知定义在上的函数的最小值为求的值若为正实数且求证年福建省高考数学试卷理科参考答案与试题解析一选择题本大题共小题每小题分共分在每个题给出的四个选项中只有一项是符合要求的分福建复数的共轭复数等于考点复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题数系的扩充和复数分析直接由复数代数形式的乘法运算化简则其共轭可求解答解故选点评本题考查了复数代数形式的乘法运算考查了复数的基本概念是基础题分福建某空间几何体的正视图是三角形则该几何体不可能是圆柱圆锥四面体三棱柱考点由三视图还原实物图菁优网版权所有专题计算题空间位置关系与距离分析直接从几何体的三视图正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状即可解答解圆柱的正视图为矩形故选点评本题考查简单几何体的三视图考查逻辑推理能力和空间想象力是基础题分福建等差数列的前项和为若则等于考点等差数列的前项和菁优网版权所有专题等差数列与等比数列分析由等差数列的性质和已知可得进而可得公差可得解答解由题意可得解得公差故选点评本题考查等差数列的通项公式和求和公式属基础题分福建若函数且的图象如图所示则下列函数图象正确的是考点对数函数的图像与性质菁优网版权所有专题函数的性质及应用分析由题意可得由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可解答解由题意可知图象过故有解得选项单调递减故错误选项由幂函数的知识可知正确选项其图象应与关于轴对称故错误选项当时但图象明显当时故错误故选点评本题考查对数函数的图象和性质涉及幂函数的图象属基础题分福建阅读如图所示的程序框图运行相应的程序输出的的值等于考点循环结构菁优网版权所有专题计算题算法和程序框图分析算法的功能是求的值计算满足条件的值可得答案解答解由程序框图知算法的功能是求的值输出故选点评本题考查了直到型循环结构的程序框图根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键分福建直线与圆相交于两点则是的面积为的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件考点必要条件充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题直线与圆简易逻辑分析根据直线和圆相交的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答解若直线与圆相交于两点则圆心到直线距离若则则的面积为成立即充分性成立若的面积为则解得则不成立即必要性不成立故是的面积为的充分不必要条件故选点评本题主要考查充分条件和必要条件的判断利用三角形的面积公式以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键分福建已知函数则下列结论正确的是是偶函数是增函数是周期函数的值域为考点余弦函数的单调性菁优网版权所有专题函数的性质及应用分析由三角函数和二次函数的性质分别对各个选项判断即可解答解由解析式可知当时为周期函数当时为二次函数的一部分故不是单调函数不是周期函数也不具备奇偶性故可排除对于当时函数的值域为当时函数的值域为值域为故函数的值域为故正确故选点评本题考查分段函数的性质涉及三角函数的性质属基础题分福建在下列向量组中可以把向量表示出来的是考点平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题平面向量及应用分析根据向里的坐标运算计算判别即可解答解根据选项则无解故选项不能选项则解得故选项能选项则无解故选项不能选项则无解故选项不能故选点评本题主要考查了向量的坐标运算根据列出方程解方程是关键属于基础题分福建设分别为圆和椭圆上的点则两点间的最大距离是考点椭圆的简单性质圆的标准方程菁优网版权所有专题计算题圆锥曲线的定义性质与方程分析求出椭圆上的点与圆心的最大距离加上半径即可得出两点间的最大距离解答解设椭圆上的点为则圆的圆心为半径为椭圆上的点与圆心的距离为两点间的最大距离是故选点评本题考查椭圆圆的方程考查学生分析解决问题的能力属于基础题分福建用代表红球代表蓝球代表黑球由加法原理及乘法原理从个红球和个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来如表示一个球都不取表示取出一个红球而则表示把红球和蓝球都取出来以此类推下列各式中其展开式可用来表示从个无区别的红球个无区别的蓝球个有区别的黑球中取出若干个球且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是考点归纳推理进行简单的合情推理菁优网版权所有专题推理和证明分析根据表示出来如表示一个球都不取表示取出一个红球而则表示把红球和蓝球都取出来分别取红球蓝球黑球根据分步计数原理分三步每一步取一种球问题得以解决解答解所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中与取红球的个数和黑球的个数无关而红球篮球是无区别黑球是有区别的根据分布计数原理第一步取红球红球的取法有第二步取蓝球有第三步取黑球有所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有故选点评本题主要考查了分步计数原理和归纳推理合理的利用题目中所给的实例要遵循其规律属于中档题二填空题本大题共小题每小题分共分把答案填在答题卡的相应位置分福建若变量满足约束条件则的最小值为考点简单线性规划菁优网版权所有专题不等式的解法及应用分析作出不等式对应的平面区域利用线性规划的知识通过平移即可求的最小值解答解作出不等式对应的平面区域如图由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时最小此时的最小值为故答案为点评本题主要考查线性规划的应用利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法分福建在中则的面积等于考点正弦定理菁优网版权所有专题解三角形分析利用三角形中的正弦定理求出角再利用三角形的面积公式求出的面积解答解中由正弦定理得解得的面积故答案为点评本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角求它的面积正余弦定理解直角三角形三角形的面积公式等知识属于基础题分福建要制作一个容器为高为的无盖长方形容器已知该容器的底面造价是每平方米元侧面造价是每平方米元则该容器的最低总造价是单位元考点棱柱棱锥棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有专题不等式的解法及应用分析此题首先需要由实际问题向数学问题转化设池底长和宽分别为成本为建立函数关系式然后利用基本不等式求出最值即可求出所求解答解设池底长和宽分别为成本为则长方形容器的容器为高为故底面面积故当时取最小值即该容器的最低总造价是元故答案为点评本题以棱柱的体积为载体考查了基本不等式难度不大属于基础题分福建如图在边长为为自然对数的底数的正方形中随机撒一粒黄豆则它落到阴影部分的概率为考点几何概型菁优网版权所有专题综合题概率与统计分析利用定积分计算阴影部分的面积利用几何概型的概率公式求出概率解答解由题意与关于对称阴影部分的面积为边长为为自然对数的底数的正方形的面积为落到阴影部分的概率为故答案为点评本题考查几何概型几何概型的概率的值是通过长度面积和体积的比值得到分福建若集合且下列四个关系有且只有一个是正确的则符合条件的有序数组的个数是考点集合的相等菁优网版权所有专题计算题集合分析利用集合的相等关系结合有且只有一个是正确的即可得出结论解答解由题意时时时符合条件的有序数组的个数是个点评本题考查集合的相等关系考查分类讨论的数学思想正确分类是关键三解答题本大题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分福建已知函数若且求的值求函数的最小正周期及单调递增区间考点三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题三角函数的图像与性质分析利用同角三角函数关系求得的值分别代入函数解析式即可求得的值利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间解答解且由得的单调递增区间为点评本题主要考查了三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用分福建在平面四边形中将沿折起使得平面平面如图求证若为中点求直线与平面所成角的正弦值考点直线与平面所成的角空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有专题空间角分析利用面面垂直的性质定理即可得出建立如图所示的空间直角坐标系设直线与平面所成角为利用线面角的计算公式即可得出解答证明平面平面平面平面平面平面又平面解建立如图所示的空间直角坐标系设平面的法向量则令则设直线与平面所成角为则点评本题综合考查了面面垂直的性质定理线面角的计算公式考查了推理能力和空间想象能力属于中档题分福建为回馈顾客某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励规定每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额若袋中所装的个球中有个所标的面值为元其余个均为元求顾客所获的奖励额为元的概率顾客所获的奖励额的分布列及数学期望商场对奖励总额的预算是元并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成或标有面值元和元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计并说明理由考点离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题概率与统计分析根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为元的概率依题意得得所有可能取值为分别求出画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望先讨论寻找期望为元的方案找到两种方案分别求出数学期望和方差然后做比较问题得以解决解答解设顾客所获取的奖励额为依题意得即顾客所获得奖励额为元的概率为依题意得得所有可能取值为即的分布列为所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为根据商场的预算每个顾客的平均奖励额为元所以先寻找期望为元的可能方案对于面值由元和元组成的情况如果选择的方案因为元是面值之和的最大值所以数学期望不可能为元如果选择的方案因为元是面值之和的最小值所以数学期望也不可能为元因此可能的方案是记为方案对于面值由元和元的组成的情况同理可排除和的方案所以可能的方案是记为方案以下是对这两个方案的分析对于方案即方案设顾客所获取的奖励额为则的分布列为的数学期望为的方差对于方案即方案设顾客所获取的奖励额为则的分布列为的数学期望为的方差差由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求但方案奖励额的方差比方案小所以应该选择方案点评本题主要考查了古典概型离散型随机变量的分布列数学期望方差等基础知识考查了数据处理能力运算求解能力应用意识考查了必然与或然思想与整合思想分福建已知双曲线的两条渐近线分别为求双曲线的离心率如图为坐标原点动直线分别交直线于两点分别在第一第四象限且的面积恒为试探究是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线若存在求出双曲线的方程若不存在说明理由考点直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题压轴题圆锥曲线的定义性质与方程分析依题意可知易知从而可求双曲线的离心率由知双曲线的方程为设直线与轴相交于点分轴与直线不与轴垂直讨论当轴时易求双曲线的方程为当直线不与轴垂直时设直线的方程为与双曲线的方程联立利用由可证得双曲线的方程为从而可得答案解答解因为双曲线的渐近线分别为所以所以故从而双曲线的离心率由知双曲线的方程为设直线与轴相交于点当轴时若直线与双曲线有且只有一个公共点则所以因此解得此时双曲线的方程为以下证明当直线不与轴垂直时双曲线双曲线的方程为也满足条件设直线的方程为依题意得或则记由得同理得由得即因为所以又因为所以即直线与双曲线有且只有一个公共点因此存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线且的方程为点评本题考查双曲线的方程与性质直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识考查抽象概括能力推理论证能力运算求解能力考查特殊与一般思想数形结合思想分类讨论思想函数与方程思想分福建已知函数为常数的图象与轴交于点曲线在点处的切线斜率为求的值及函数的极值证明当时证明对任意给定的正数总存在使得当时恒有考点导数在最大值最小值问题中的应用利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题等差数列与等比数列分析利用导数的几何意义求得再利用导数法求得函数的极值构造函数利用导数求得函数的最小值即可得出结论利用的结论令则即即得结论成立解答解由得又由得当时单调递减当时单调递增当时有极小值为无极大值令则由得即当时即对任意给定的正数总存在当时由得即对任意给定的正数总存在使得当时恒有点评本题主要考查基本初等函数的导数导数的运算及导数的应用全称量词存在量词等基础知识考查运算求解能力推理论证能力抽象概括能力考查函数与方程思想有限与无限思想划归与转化思想分类与整合思想特殊与一般思想属难题在题中考生任选题作答满分分如果多做则按所做的前两题计分作答时先用铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑并将所选题号填入括号中选修矩阵与变换分福建已知矩阵的逆矩阵求矩阵求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量考点特征向量的定义菁优网版权所有专题计算题矩阵和变换分析利用建立方程组即可求矩阵先根据特征值的定义列出特征多项式令解方程可得特征值再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量解答解设则由得解得所以矩阵的特征多项式为令可求得特征值为设对应的一个特征向量为则由得得可令则所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为点评本题考查逆变换与逆矩阵考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识属于基础题五选修极坐标与参数方程分福建已知直线的参数方程为为参数圆的参数方程为为常数求直线和圆的普通方程若直线与圆有公共点求实数的取值范围考点圆的参数方程直线的参数方程菁优网版权所有专题选作题坐标系和参数方程分析消去参数把直线与圆的参数方程化为普通方程求出圆心到直线的距离再根据直线与圆有公共点即可求出解答解直线的参数方程为消去可得圆的参数方程为两式平方相加可得圆心半径由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离直线与圆有公共点即解得点评熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键六选修不等式选讲福建已知定义在上的函数的最小值为求的值若为正实数且求证考点二维形式的柯西不等式绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题计算题证明题不等式的解法及应用分析由绝对值不等式当且仅当取等号由柯西不等式即可证得解答解当且仅当时等号成立的最小值为即证明由知又为正实数由柯西不等式得即点评本题主要考查绝对值不等式柯西不等式等基础知识考查运算求解能力考查化归与转化思想