高中数学基本不等式知识点及习题.docx

高中数学基本不等式知识点及练习题基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号几个重要的不等式同号算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为几何平均数为基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数利用基本不等式求最值问题已知则如果积是定值那么当且仅当时有最小值是简记积定和最小如果和是定值那么当且仅当时有最大值是简记和定积最大一个技巧运用公式解题时既要掌握公式的正用也要注意公式的逆用例如逆用就是逆用就是等还要注意添拆项技巧和公式等号成立的条件等两个变形当且仅当时取等号当且仅当时取等号这两个不等式链用处很大注意掌握它们三个注意使用基本不等式求最值其失误的真正原因是其存在前提一正二定三相等的忽视要利用基本不等式求最值这三个条件缺一不可在运用基本不等式时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正定等的条件连续使用公式时取等号的条件很严格要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致应用一求最值例求下列函数的值域解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最大值技巧三分离例求的值域技巧四换元技巧五注意在应用最值定理求最值时若遇等号取不到的情况应结合函数的单调性例求函数的值域练习求下列函数的最小值并求取得最小值时的值已知求函数的最大值求函数的最大值条件求最值若实数满足则的最小值是变式若求的最小值并求的值技巧六整体代换多次连用最值定理求最值时要注意取等号的条件的一致性否则就会出错已知且求的最小值变式若且求的最小值已知且求的最小值技巧七已知为正实数且求的最大值技巧八已知为正实数求函数的最小值技巧九取平方已知为正实数求函数的最值应用二利用基本不等式证明不等式已知为两两不相等的实数求证正数满足求证例已知且求证应用三基本不等式与恒成立问题例已知且求使不等式恒成立的实数的取值范围应用四均值定理在比较大小中的应用例若则的大小关系是解值域为当时当时值域为解因所以首先要调整符号又不是常数所以对要进行拆凑项当且仅当即时上式等号成立故当时评注本题需要调整项的符号又要配凑项的系数使其积为定值解析由知利用基本不等式求最值必须和为定值或积为定值此题为两个式子积的形式但其和不是定值注意到为定值故只需将凑上一个系数即可当即时取等号当时的最大值为评注本题无法直接运用基本不等式求解但凑系数后可得到和为定值从而可利用基本不等式求最大值解析一本题看似无法运用基本不等式不妨将分子配方凑出含有的项再将其分离当即时当且仅当时取号解析二本题看似无法运用基本不等式可先换元令化简原式在分离求最值当即时当即时取号评注分式函数求最值通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值即化为恒正或恒负的形式然后运用基本不等式来求最值解令则因但解得不在区间故等号不成立考虑单调性因为在区间单调递增所以在其子区间为单调递增函数故所以所求函数的值域为分析和到积是一个缩小的过程而且定值因此考虑利用均值定理求最小值解都是正数当时等号成立由及得即当时的最小值是错解且故错因解法中两次连用基本不等式在等号成立条件是在等号成立条件是即取等号的条件的不一致产生错误因此在利用基本不等式处理问题时列出等号成立条件是解题的必要步骤而且是检验转换是否有误的一种方法正解当且仅当时上式等号成立又可得时分析因条件和结论分别是二次和一次故采用公式同时还应化简中前面的系数为下面将分别看成两个因式即分析这是一个二元函数的最值问题通常有两个途径一是通过消元转化为一元函数问题再用单调性或基本不等式求解对本题来说这种途径是可行的二是直接用基本不等式对本题来说因已知条件中既有和的形式又有积的形式不能一步到位求出最值考虑用基本不等式放缩后再通过解不等式的途径进行法一由得令当且仅当即时等号成立法二由已知得令则点评本题考查不等式的应用不等式的解法及运算能力如何由已知不等式出发求得的范围关键是寻找到之间的关系由此想到不等式这样将已知条件转换为含的不等式进而解得的范围变式已知求的最小值若直角三角形周长为求它的面积最大值解法一若利用算术平均与平方平均之间的不等关系本题很简单解法二条件与结论均为和的形式设法直接用基本不等式应通过平方化函数式为积的形式再向和为定值条件靠拢变式求函数的最大值解析注意到与的和为定值又所以当且仅当即时取等号故评注本题将解析式两边平方构造出和为定值为利用基本不等式创造了条件总之我们利用基本不等式求最值时一定要注意一正二定三相等同时还要注意一些变形技巧积极创造条件利用基本不等式分析不等式右边数字使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个连乘又可由此变形入手解同理上述三个不等式两边均为正分别相乘得当且仅当时取等号解令分析