2023年高考一轮复习 7.2第二节　一元二次不等式及其解法 学案.doc

第二节　一元二次不等式及其解法 ·最新考纲· 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． ·考向预测· 考情分析：不等式解法是不等式中的重要内容，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中等偏下． 学科素养：通过一元二次不等式及恒成立问题的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养． 积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端 一、必记1个知识点 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象


方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x10 (a>0)的解集 ________ {x|x≠− b2a} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ________ ________ ________ 二、必明3个常用结论 1．分式不等式与整式不等式 (1)fxgx>0(<0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)； (2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2．绝对值不等式的解法 (1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2； (2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)； (3)|f(x)|0，Δ<0. (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔a<0，Δ<0. 三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) (4)x−ax−b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (二)教材改编 2．[必修5·P80习题T2改编]设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝1x−1的定义域，则A∩B等于(　　) A．(1，2) B．[1，2] C．[1，2) D．(1，2] 3．[必修5·P104习题T3改编]不等式ax2＋bx＋2>0的解集是−12，13，则a＋b的值是________． (三)易错易混 4．(不等式变形必须等价)不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集为________． 5．(注意二次项系数的符号)不等式(x＋1)(3－2x)≥0的解集为________． (四)走进高考 6．[2019·全国卷Ⅱ]设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩▒B＝(　　) A．(－∞，1) B．(－2，1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) 提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法 考点一　不含参数的一元二次不等式的解法　[基础性] 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　) A．−1，32 B．−32，1 C．(－∞，－1)∪32，+∞ D．−∞，−32∪1，+∞ 2．不等式1−x2+x≥0的解集为(　　) A.[－2，1] B．(－2，1] C．(－∞，－2)∪1，+∞ D．(－∞，－2]∪1，+∞ 反思感悟　解一元二次不等式的4个步骤
考点二　含参数的一元二次不等式的解法　[综合性] [例1]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)． 听课笔记： 反思感悟　含参数的一元二次不等式求解步骤 (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数． (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小． (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 【对点训练】 1．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|− 12 a2(a∈R)． 考点三　一元二次不等式恒成立问题　[综合性] 角度1　在R上的恒成立问题 [例2]　对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)　　　 B．(－∞，2] C．(－2，2) D．(－2，2] 听课笔记： 反思感悟　一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 角度2　在给定区间上的恒成立问题 [例3]　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 听课笔记： 反思感悟　一元二次不等式在区间上恒成立的条件 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)一元二次不等式f(x)>0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒n≤−b2a ,fn>0 , 或𝑚 < −𝑏2𝑎 <𝑛 ,𝑓− 𝑏2𝑎>0 ,或𝑚 ≥ − 𝑏2𝑎𝑓𝑚 ≥ 0 , (2)一元二次不等式f(x)<0(a>0)在区间[m，n]上恒成立⇒n≤−b2a ,fm<0 , 或 𝑚 < −𝑏2𝑎 <𝑛 ,max𝑓𝑚, 𝑓𝑛<0 ,或𝑚 ≥ − 𝑏2𝑎𝑓𝑛< 0 . 角度3　给定参数范围的恒成立问题 [例4]　若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为________． 听课笔记： 反思感悟　给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 【对点训练】 1．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为(　　) A.a<－12或a>12　　　B．a>12或a<0 C.a>12 D．－122， 由f(b)＝b得到34b2－3b＋4＝b， 解得b＝43(舍去)或b＝4， 由抛物线的对称轴为x＝2得到a＝0，所以a－b＝－4.故选D. 答案：D 名师点评　(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想；函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． (2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别． [变式训练]　已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)x2}　{x|x1< x0得x>1，即B＝{x|x>1}， 所以A∩B＝{x|1