《质量控制》大作业

 《质量控制》课程（大作业） 题 目：离散型随机变量的概率分布及在生活生产中的应用 学 院： 测试与光电工程学院 专 业： 测控技术与仪器 姓 名： 班 级： 学 号： 二0一五年一月 离散型随机变量的概率分布及在生活生产中的应用 概率分布是 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45337.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 概率论的基本概念之一，用以表述 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45329.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 随机变量取值的概率规律。 为了使用的方便，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量x的 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/4369366.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 取值范围，则试验结果可用变量x来表示。对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、“…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的取值为0、1、2、…、100。测定某品种猪初生重，表示测定结果的变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5―1.5kg，x值可以是这个范围内的任何 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/14749.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 实数。 如果表示试验结果的变量x，其可能取值至多为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称x为 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/562196.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 离散型随机变量(discrete random variable)；如果表示试验结果的变量x，其可能取值为某范围内的任何数值，且x在其 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/4369366.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 取值范围内的任一 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/70334.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 区间中取值时，其概率是确定的，则称x为 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/895851.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 连续型随机变量(continuous random variable)。 要了解 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/562196.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 离散型随机变量x的 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/750184.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。如果我们将 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/562196.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1,2,…)，及其对应的概率pi，记作P(x=xi)=pi,i=1,2,… 则称左式为 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/562196.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 离散型随机变量x的概率分布或分布。其性质有：  非负性  规范性  离散型随机变量的分布函数 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值Xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 Pk。 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量X的所有可能取值Xi与其取对应的概率Pi乘积之和，描述离散型随机变量取值的集中程度记为
或E（X）。计算公式为
离散型随机变量的方差 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为
或D（X），描述离散型随机变量取值的分散程度，计算公式为
方差的平方根称为标准差，记为
或√D（X）。 常见的离散型随机变量分布 一、二项分布 二项分布即 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/subview/280160/8050477.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 重复n次独立的 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/710902.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/731399.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 互相对立，并且相互 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/subview/143203/5111443.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/11768574.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/394289.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 伯努利分布。 用ξ表示 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/703858.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 随机试验的结果。  HYPERLINK "http://baike.baidu.com/picture/79831/79831/0/8605f5f8c2810e4dd8f9fd35.html?fr=lemma&ct=single" \o "" \t "http://baike.baidu.com/_blank" INCLUDEPICTURE \d "http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s=250/sign=2ece2ccfa9773912c0268264c8188675/3c6d55fbb2fb4316b5ef100820a4462308f7d3d4.jpg" \* MERGEFORMATINET 
二项分布公式 如果事件发生的 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45320.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/871835.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), 其中C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!)注意！:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。那么就说这个属于二项分布。.其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)，期望：Eξ=np，方差:Dξ=npq。 证明:由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45329.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np. 方差：D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p). 如果 1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的； 2．每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关; 3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。 在这试验中,事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布.二项分布可  HYPERLINK "http://baike.baidu.com/picture/79831/79831/0/4a77b2af2d12fc8e7dd92a36.html?fr=lemma&ct=single" \o "" \t "http://baike.baidu.com/_blank" INCLUDEPICTURE \d "http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s=220/sign=0b350e7f269759ee4e5067c982fa434e/342ac65c10385343f83ded539313b07ecb8088d5.jpg" \* MERGEFORMATINET 
二项分布 以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率.若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k).C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。 二、两点分布 伯努利分布(Bernoulli distribution)是一个离散型机率分布，为纪念 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/2773.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 瑞士 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/66827.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 科学家詹姆斯· HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45882.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 伯努利(Jacob Bernoulli 或James Bernoulli)而命名。一个离散型机率分布，是超几何分布的特殊情况。 伯努利分布，又名两点分布或者0-1分布，是一个 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%88%86%E5%B8%83" \l ".E7.A6.BB.E6.95.A3.E5.88.86.E5.B8.83" \o "概率分布" 离散型概率分布，为纪念瑞士科学家 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%85%E5%90%84%E5%B8%83%C2%B7%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9" \o "雅各布·伯努利" 雅各布·伯努利而命名。)若 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E8%A9%A6%E9%A9%97" \o "伯努利试验" 伯努利试验成功，则伯努利 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%A8%E6%A9%9F%E8%AE%8A%E9%87%8F" \o "随机变量" 随机变量取值为1。若 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E5%8A%AA%E5%88%A9%E8%A9%A6%E9%A9%97" \o "伯努利试验" 伯努利试验失败，则伯努利 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%A8%E6%A9%9F%E8%AE%8A%E9%87%8F" \o "随机变量" 随机变量取值为0。记其成功 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87" \o "概率" 概率为INCLUDEPICTURE \d "http://upload.wikimedia.org/math/7/1/2/712fd67686d79844bf0f07b7302cadf4.png" \* MERGEFORMATINET 
，失败 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87" \o "概率" 概率为INCLUDEPICTURE \d "http://upload.wikimedia.org/math/d/5/5/d55cc79a57c061f065ebe39f25e6e27e.png" \* MERGEFORMATINET 
。则其 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%B4%A8%E9%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0" \o "概率质量函数" 概率质量函数为： INCLUDEPICTURE \d "http://upload.wikimedia.org/math/b/c/2/bc2ef229d7486eb22c1ae74846c6d78a.png" \* MERGEFORMATINET 
 其 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E6%9C%9B%E5%80%BC" \o "期望值" 期望值为： INCLUDEPICTURE \d "http://upload.wikimedia.org/math/c/a/7/ca79988177a24be36513dfd79a1e3e28.png" \* MERGEFORMATINET 
 其 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E5%B7%AE" \o "方差" 方差为： INCLUDEPICTURE \d "http://upload.wikimedia.org/math/4/8/6/4868d2e505139789b49c778f5272148a.png" \* MERGEFORMATINET 
 三、几何分布 几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/710902.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。 公式： 它分两种情况： 1. 得到1次成功而进行n次 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45882.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 伯努利试验，n的 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45323.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 概率分布，取值范围为（1，2，3，...）; 2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为（0，1，2，3，...）. 由两种不同情况而得出的期望和方差如下： 1. INCLUDEPICTURE \d "http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s=67/sign=9a21209e0afa513d55aa6fd93c6d9956/91ef76c6a7efce1b96b87d88ad51f3deb58f65e4.jpg" \* MERGEFORMATINET 
；INCLUDEPICTURE \d "http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s=109/sign=23aa38734890f60300b098470013b370/a8ec8a13632762d05e2b10fda2ec08fa513dc65f.jpg" \* MERGEFORMATINET 
 , 2. INCLUDEPICTURE \d "http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s=91/sign=867d1950700e0cf3a4f742fa0b46ead3/3b292df5e0fe9925aa1edd1236a85edf8db17165.jpg" \* MERGEFORMATINET 
；INCLUDEPICTURE \d "http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s=109/sign=9f79f982f536afc30a0c3b658a18eb85/b999a9014c086e0681a38b0900087bf40ad1cb6d.jpg" \* MERGEFORMATINET 
 概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列： INCLUDEPICTURE \d "http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s=219/sign=990b72acb68f8c54e7d3c22e03282dee/314e251f95cad1c891dc48657d3e6709c93d5108.jpg" \* MERGEFORMATINET 
，INCLUDEPICTURE \d "http://f.hiphotos.baidu.com/baike/s=95/sign=41cadfad8fb1cb133a693016dc540b84/024f78f0f736afc30c538b27b119ebc4b7451210.jpg" \* MERGEFORMATINET 
 具有这种分布列的 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45329.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。 几何分布的期望： INCLUDEPICTURE \d "http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s=67/sign=6f6bc1db8026cffc6d2abcb5b801aad5/37d3d539b6003af3e2a96b22372ac65c1038b665.jpg" \* MERGEFORMATINET 
， 几何分布的方差： INCLUDEPICTURE \d "http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s=154/sign=3d68d91fd358ccbf1fbcb13f2dd9bcd4/7c1ed21b0ef41bd523d8985953da81cb38db3d97.jpg" \* MERGEFORMATINET 
。 四、泊松分布 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/2202571.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。就像当代科学史专家斯蒂芬·施蒂格勒（Stephen Stigler）所说的误称定律（the Law of Misonomy）， HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/1284.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 数学中根本没有以其发明者命名的东西。 泊松分布（poisson distribution)是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（siméon-Denis poisson）于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显．在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念．泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究．但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置．泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题．排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论．通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标（等待时间，排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优．此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例． 泊松分布的 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/5326788.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" 概率分布函数为： INCLUDEPICTURE \d "http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s=124/sign=d11daee6b03533faf1b6972c9cd1fdca/50da81cb39dbb6fd9aa3c2ce0824ab18962b3759.jpg" \* MERGEFORMATINET 
 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/504485.htm" \t "http://baike.baidu.com/_blank" λ。 五、超几何分布 产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，即不合格率p=M/N。在产品中随机抽n件做检查，发现k件不合格品的概率为P(X=k)=C(M,k)*C(N-M,n-k)/C(n,N),k=0,1,2,...,min{n,M}。通常称这个 HYPERLINK "http://baike.baidu.com/view/45329.htm" \t "http