数学论文 多产数学家—柯西.doc

多产数学家柯西摘要在人类光辉的数学史中他做出了巨大的贡献在数学写作上他是被认为在数量上仅次于欧拉的人一生共有篇论文和几本书其中有些是经典之作许多数学定理和公式都以他的名字命名他从小就显出超人的数学天赋他把一生奉献给了他钟爱的这份事业人总是要死的但是他们的功绩永存这是他临死前留下的话他就是大名鼎鼎的数学家柯西本文将在参考国内外大量文献资料的基础上带您领略他带给人类数学的经典理论关键词多产数学家柯西经典理论目录摘要中文摘要外文绪论引言大数学家柯西简介个人履历人物生平年及年研究成果年研究成果到年研究成果年后研究成果个人作品在单复变函数的贡献在分析基础的贡献在常微分方程的贡献在其他方面的贡献柯西不等式柯西不等式的各种形式二维形式三角形式向量形式一般形式柯西不等式的证明二维形式证明三角形式证明向量形式证明一般形式证明柯西不等式的应用巧拆常数证不等式求某些函数最值柯西收敛准则柯西收敛准则的定义柯西收敛准则的地位柯西收敛准则的方法柯西收敛准则的证明柯西中值定理柯西中值定理的概念柯西中值定理的证明柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系柯西中值定理的几何意义柯西中值定理的应用判断函数单调性不等式极限推导中值公式研究函数的某些特性柯西积分公式柯西积分公式的定义柯西积分公式的证明柯西积分公式的应用柯西与常微分方程柯西分布柯西分布概述柯西分布概率密函数柯西分布与标准柯西分布的性质结论参考文献谢辞绪论在众星云集的数学殿堂中柯西这个名字闪闪发光首先柯西以接近于现代的方式定义单元函数给出了连续的严格定义简洁而严格地证明了微积分学基本定理这是整个数学分析从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点其次他在复变函数常微分方程理论中都有所建树再次他还是弹性力学理论基础的建立者大数学家柯西简介个人履历柯西在幼年时他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室并且在那里指导他进行学习因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家他们对他的才能十分赏识拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学柯西在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的在数学写作上他是被认为在数量上仅次于欧拉的人他一生一共著作了篇论文和几本书其中有些还是经典之作不过并不是他所有的创作质量都很高因此他还曾被人批评高产而轻率这点倒是与数学王子高斯相反据说法国科学院会刊创刊的时候由于柯西的作品实在太多以致于科学院要负担很大的印刷费用超出科学院的预算因此科学院后来规定论文最长的只能有四页所以柯西较长的论文只得投稿到其它地方人物生平年及年研究成果柯西于年入中学在中学时他的拉丁文和希腊文取得优异成绩多次参加竞赛获奖数学成绩也深受老师赞扬他于年考入综合工科学校在那里主要学习数学和力学年考入桥梁公路学校年以优异成绩毕业前往瑟堡参加海港建设工程柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍从数论直到天文学方面根据拉格朗日的建议他进行了多面体的研究并于及年向科学院提交了两篇论文其中主要成果是证明了凸正多面体只有五种面数分别是星形正多面体只有四种面数是的三种面数是的一种得到了欧拉关于多面体的顶点面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广证明了各面固定的多面体必然是固定的从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理这两篇论文在数学界造成了极大的影响柯西在瑟堡由于工作劳累生病于年回到巴黎他的父母家中休养年研究成果柯西于年在巴黎被任命为运河工程的工程师他在巴黎休养和担任工程师期间继续潜心研究数学并且参加学术活动这一时期他的主要贡献是研究代换理论发表了代换理论和群论在历史上的基本论文证明了费马关于多角形数的猜测即任何正整数是个角形数的和这一猜测当时已提出了一百多年经过许多数学家研究都没有能够解决以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的用复变函数的积分计算实积分这是复变函数论中柯西积分定理的出发点研究液体表面波的传播问题得到流体力学中的一些经典结果于年得法国科学院数学大奖以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉他成为当时一位国际上著名的青年数学家到年研究成果年法国拿破仑失败波旁王朝复辟路易十八当上了法王柯西于年先后被任命法国科学院院士和综合工科学校教授年又被任命为巴黎大学力学教授还曾在法兰西学院授课这一时期他的主要贡献是在综合工科学校讲授分析课程建立了微积分的基础极限理论还阐明了极限理论在此以前微积分和级数的概念是模糊不清的由于柯西的讲法与传统方式不同当时学校师生对他提出了许多非议柯西在这一时期出版的著作有代数分析教程无穷小分析教程概要和微积分在几何中应用教程这些工作为微积分奠定了基础促进了数学的发展成为数学教程的典范柯西在担任巴黎大学力学教授后重新研究连续介质力学在年的一篇论文中他建立了弹性理论的基础继续研究复平面上的积分及留数计算并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等他的大量论文分别在法国科学院论文集和他自己编写的期刊数学习题上发表年后研究成果年法国爆发了推翻波旁王朝的革命法王查理第十仓皇逃走奥尔良公爵路易菲力浦继任法王当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法王效力由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派他拒绝宣誓效忠并自行离开法国他先到瑞士后于年任意大利都灵大学数学物理教授并参加当地科学院的学术活动那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程强级数法并为此作出重要贡献年柯西先在布拉格后在戈尔兹担任波旁王朝王储波尔多公爵的教师最后被授予男爵封号在此期间他的研究工作进行得较少年柯西回到巴黎由于他没有宣誓对法王效忠只能参加科学院的学术活动不能担任教学工作他在创办不久的法国科学院报告和他自己编写的期刊分析及数学物理习题上发表了关于复变函数天体力学弹性力学等方面的大批重要论文年法国又爆发了革命路易菲力浦倒台重新建立了共和国废除了公职人员对法王效忠的宣誓柯西于年担任了巴黎大学数理天文学教授重新进行他在法国高等学校中断了年的教学工作年拿破仑第三发动政变法国从共和国变成了帝国恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓柯西立即向巴黎大学辞职后来拿破仑第三特准免除他和物理学家阿拉果的忠诚宣誓于是柯西得以继续进行所担任的教学工作直到年他在巴黎近郊逝世时为止柯西直到逝世前仍不断参加学术活动不断发表科学论文年月日他突然去世享年岁他因为热病去世临终前他还与巴黎大主教在说话他说的最后一句话是人总是要死的但是他们的功绩永存个人贡献柯西是一位多产的数学家他的全集从年开始出版到年才出齐最后一卷总计卷他的主要贡献如下在单复变函数的贡献柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的世纪的数学家们采用过上下限是虚数的定积分但没有给出明确的定义柯西首先阐明了有关概念并且用这种积分来研究多种多样的问题如实定积分的计算级数与无穷乘积的展开用含参变量的积分表示微分方程的解等在分析基础的贡献柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响自从牛顿和莱布尼茨发明微积分即无穷小分析简称分析以来这门学科的理论基础是模糊的为了进一步发展必须建立严格的理论柯西为此首先成功地建立了极限论柯西极限论的定义设函数在点的某一去心邻域内有定义如果存在常数对于任意给定的正数无论它多么小总存在正数使得当满足不等式时对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限严格来说没有数学证明这种东西分析到最后除了指指点点我们什么也不会干证明就是我和李托伍德叫做神吹的那套玩意儿是编出来打动人心的花言巧语是上课够在黑板上的图画是激发学生想象力的手法哈代数学太重要了在中国与语文学有着同样的地位其原因就在于数学本身就是一种语言而且是一种世界语言具有普遍性所以严格的区分数学概念的词性是非常有必要的不仅是数学本身的要求也是语言科学的要求谈到语言和词性就要了解部分语文基础知识了名词表示人或事物处所方位等名称的词动词表示动作行为发展变化心理活动等意义的词微积分从诞生的第一天开始就没有离开过矛盾和驳论例如贝克莱驳论无穷小驳论芝诺悖论等如果透过这些争论可以发现其实他们不过是变相的探讨最终形态的问题正如莱布尼茨关注微粒最终命运一样现在有一些人说柯西威尔斯特拉斯的极限定义有极限回避的现象这种说法是片面的也是不客观的但还是指出了一些问题应该说最终形态回避柯西威尔斯特拉斯的极限定义被翻译成中国语言的时候是非常经典的柯西威尔斯特拉斯的极限定义不单纯的定义了极限还刻画了一种运动现象向极限最终形态靠近的运动最后画龙点睛把最终形态如果存在就是说不清怎么来的叫做极限从语法的分析上看这个说法本质上给了最终形态一个称谓名字极限所以柯西威尔斯特拉斯的极限定义中极限是一个名词而不是动词于是就把向极限靠近的运动叫做极限现象许多人在理解柯西威尔斯特拉斯的极限定义混淆了极限现象与极限笼统的把极限现象和极限都叫做极限既然现代函数极限定义并没有解释最终形态那么函数的极限定义是要说些什么故事呢有关的数学证明又在证明什么呢其实是再说一件事有极限最终形态必有极限现象反过来有极限现象必有极限存在简单来说就是极限现象是极限最终形态的充要条件所以要证明极限存在不必去研究怎么来的只需证明极限现象存在就够了确实有投机取巧的嫌疑就因为如此所以现代极限的定义不能告诉你极限怎么来的只能告诉你极限存在并且可以证明极限现象就本质来看是一种运动现象描述运动现象的理想工具是函数所以现代的函数专业极限定义有些函数的味道一一对应总有和对应也就不奇怪了现在把极限说成是动词理由是极限的本质是一个变化的量接近一个固定的量这是极限现象的精髓而不是极限的可是要描述极限现象非要柯西威尔斯特拉斯绕口的模型吗当然不是模型是可以改变的微积分初等化就改变了这一模型使一些复杂的数学证明得到了简化比如极限的唯一性函数单调性等在柯西的著作中没有通行的语言他的说法看来也不够确切从而有时也有错误例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误可是关于微积分的原理他的概念主要是正确的其清晰程度是前所未有的例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的他首先准确地证明了泰勒公式他给出了级数收敛的定义和一些判别法在常微分方程的贡献柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域他首先证明了方程解的存在和唯一性在他以前没有人提出过这种问题通常认为是柯西提出的三种主要方法即柯西利普希茨法逐渐逼近法和强级数法实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数可以证明逼近步骤收敛其极限就是方程的所求解在其他方面的贡献虽然柯西主要研究分析但在数学中各领域都有贡献关于用到数学的其他学科他在天文和光学方面的成果是次要的可是他却是数理弹性理论的奠基人之一除以上所述外他在数学中其他贡献如下分析方面在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念认识到傅里叶变换在解微分方程中的作用等等几何方面开创了积分几何得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式代数方面首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值与此同时发现两行列式相乘的公式首先明确提出置换群概念并得到群论中的一些非平凡的结果独立发现了所谓代数要领即拉格斯曼的外带数原理柯西不等式柯西不等式的各种形式二维形式等号成立条件等号成立条件三角形式等号成立条件向量形式等号成立条件为零向量或一般形式等号成立条件或均为零柯西不等式证明二维形式证明二维形式的证明等号在且仅在即时成立三角形式证明求证证明两边开根号即得向量形式证明一般形式证明求证证明等式左边等式右边用均值不等式容易证明等式左边等式右边所以结论得证柯西不等式的应用巧拆常数证不等式例如设为正数且互不相等求证证明因为均为正数故为证结论正确只需证故只需证又互不相等故等号成立条件无法满足所以原不等式成立求某些函数最值例如求函数的最大值解函数的定义域为等号仅在即时取到柯西收敛准则柯西收敛准则的定义数列收敛的充分必要条件是任给存在使得当时都有成立柯西收敛准则的地位柯西收敛原理是数学分析中的一个重要定理之一这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法柯西收敛准则的方法在有了极限的定义之后为了判断具体某一数列或函数是否有极限人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨在经过了许多数学家的不断努力之后终于由法国数学家柯西获得了完善的结果下面我们将以定理的形式来叙述它这个定理称为柯西收敛原理定理叙述数列有极限的充要条件是对任意给定的有一正整数当时有成立将柯西收敛原理推广到函数极限中则有函数在无穷远处有极限的充要条件是对任意给定的有属于实数当时有成立此外柯西收敛原理还可推广到广义极限是否收敛数项级数是否收敛的判别中有较大的适用范围柯西收敛准则的证明证明证对于任意的属于正整数由柯西收敛原理得收敛柯西中值定理柯西中值定理的概念柯西中值定理设函数满足在闭区间上连续在开区间内可导对任一有则存在使得柯西中值定理的证明作辅助函数显然由罗尔中值定理知存在使得故即柯西中值定理与拉格朗日定理的联系在柯西中值定理中若取时则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同因此拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例反之柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广柯西中值定理的几何意义若令这个形式可理解为参数方程而则是连接参数曲线的端点斜率表示曲线上某点处的切线斜率在定理的条件下可理解如下用参数方程表示的曲线上至少有一点它的切线平行于两端点所在的弦柯西中值定理的应用判断函数的单调性函数的单调性也就是函数的增减性怎样才能判断函数的增减性呢我们知道若函数在某区间上单调增或减则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正或负也就是函数的导数在此区间上均取正值或负值因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性设在上单调递增证明在上单调递增证明由柯西中值定理可以得出这样就在上单调递增不等式极限柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限分别记为仔细观察柯西中值定理表达式的形式可以看到两个函数式的比值在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数我们将以微分中值定理为理论依据通过求导建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法我们得出下面这个定理两个函数和在开区间可微并且在这个开区间上的导数不等于存在极限其中为一个有限的常数则在以下情况下反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果这个定理就称之为罗必达法则能有效地应用于未定型的极限计算罗必达法则可以运用于种未定型的极限计算而最为基本的未定型只有两种和和型的我们都知道那么在此就不做介绍了其他的未定型都可以化成这两种形式型通过恒等式从而得到或这两种基本形式型通过恒等式从而得到型通过恒等式从而得到前面几种型再进一步化成或这两种基本形式对于两种基本形式的未定型直接应用洛必达法则即可即表示为显然这时的条件为都存在并且还有一个不是很明显因此初学者常常犯错误的地方就是要求和同时以或者为极限在实际做题时一定要注意随时验证这三个条件否则必定会犯错误证明证明令当时有则可以得到推导中值公式例设在开区间内二次可微证明任意的存在使成立这就是泰勒公式一次展开式证明由题可知只需证明这一种情况令求导可得因为两次应用到柯西中值定理可以得到其中则得到证明故命题得证研究函数的某些特性证明中值点的存在性设函数在区间上连续在内可导则使得证明设它在上与一起满足柯西中值定理的条件于是存在使得即存在使得证明恒等式证明证明令则由于在连续所以柯西积分公式柯西积分公式的定义我们利用柯西积分定理复围线形式导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式柯西积分公式设为区域的边界在上解析则对于区域内任一点有柯西积分公式的证明证明设为内任意一点则作为以为自变量的函数除点以外在区域内均解析以点为心充分小的为半径作圆周使及其内部均含于内由柯西定理的推广得由得由于与积分变量无关所以下面证明根据的连续性对任意必存在正数当有因此只要取则当满足时就有于是所以当时即所以柯西积分公式可以改写成借此公式可以计算某些围线积分指路径是围线的积分柯西积分公式的应用计算积分因在闭圆上解析由柯西积分公式得柯西与常微分方程早在十七世纪后半叶随着微积分理论的建立常微分方程问题就产生了对于各种各样的常微分方程在十九世纪之前数学家们普遍因袭解代数方程的思维方式试图给出每个具体方程的确定解并且坚信一定能够找到这样的解可是沿着这条传统思路走下去却变得愈来愈困难因为有许多方程很难找到它们的具体表达式甚至有时是做不到的就在绝大多数数学家陷入困境一筹莫展时柯西思路一转探讨起这样一个问题给定一个微分方程它对于给定的初始条件和边界条件是否有解这就把微分方程解的研究从定量转到了定性即从实际解方程转到从理论上判断解的存在性按照柯西的思路对于一个微分方程来说重要的是要知道它的定性性质即要知道这一微分方程在给定的初始和边界条件下具有怎样的定性状态一旦弄清楚了这种定性状态也就从本质上把握了微分方程的基本特征从而也就足以用来解决许多实际问题柯西把微分方程的研究从定量转为定性是数学思维方式上的一次重大突破柯西分布柯西分布概述柯西分布也叫作柯西洛伦兹分布它是以柯西与洛伦兹的名字命名的连续概率分布其概率密度函数为其中是定义分布峰值位置的位置参数是最大值一半处的一半宽度的尺度参数作为概率分布通常叫作柯西分布物理学家也将之称为洛伦兹分布或者分布在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解在光谱学中它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语且的特例称为标准柯西分布其概率密度函数为柯西分布概率密度函数图形柯西分布有两个参数概率密度函数的图形亦为钟形不仔细看还不容易与正态分布的图形区别我们把柯西分布和正态分布的图形放在一起比较可发现柯西分布之图形下降至的速度慢很多柯西分布与标准柯西分布的性质柯西分布是一个数学期望不存在的连续型分布函数它同样具有自己的分布密度满足分布函数密度函数的称为标准柯西分布柯西分布的重要特性之一就是期望和方差均不存在结论作为一位学者柯西思路敏捷功绩卓著由他卷帙浩大的论著和成果人们不难想象他的一生是怎样孜孜不倦地勤奋工作但是柯西却是个具有复杂性格的人他是忠诚的保王党人热心的天主教徒落落寡欢的学者尤其作为久负盛名的科学泰斗他常常忽视青年学者的创造例如由于柯西失落了才华出众的年轻数学家阿贝尔和伽罗华的开创性论文手稿造成群论晚问世半个世纪通过这次论文我了解了一个全面的大数学家柯西尽管很多人都在议论他的缺点但是我们更应该看到他在数学发展上不可替代的地位每当我看到以柯西命名的数学定理和公式用来解决问题时每每都惊叹于其睿智的思路我是学数学的这位多产数学家对科学的执着和其刻苦钻研的精神正是我要学习的在这里我要再次向这位大数学家表示我的崇拜和敬仰之情参考文献王高雄周之铭常微分方程北京高等教育出版社北京大学数学系与代数教研室前代数小组高等代数北京高等教育出版社西安交通大学高等数学教研室复变函数北京高等教育出版社茆诗松程依明概率论与数理统计北京高等教育出版社陈纪修於崇华金路数学分析北京高等教育出版社谢辞走的最快的总是时间来不及感叹大学生活已近尾声四年多的努力与付出随着本次论文的完成将要划下完美的句号本论文在詹倩老师的悉心指导和严格要求下业已完成从课题选择到具体的写作过程论文初稿与定稿无不凝聚着詹倩老师的心血和汗水在我的毕业论文期间詹倩老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议詹老师一丝不苟的作风严谨求实的态度使我深受感动没有这样的帮助和关怀和熏陶我不会这么顺利的完成毕业设计在此向詹倩老师表示深深的感谢和崇高的敬意在临近毕业之际我要感谢我的爸爸妈妈焉得谖草言树之背养育之恩无以回报你们永远健康快乐是我最大的心愿我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意感谢他们四年来的辛勤栽培不积跬步何以至千里各位任课老师认真负责在他们的悉心帮助和支持下我能够很好的掌握和运用专业知识并在设计中得以体现顺利完成毕业论文同时在论文写作过程中我还参考了有关的书籍和论文在这里一并向有关的作者表示谢意我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友在毕业设计的这段时间里你们给了我很多的启发提出了很多宝贵的意见对于你们的帮助和支持在此我表示深深地感谢