对称美与物理学.doc

对称美与物理学生活中的对称与不对称人类在长期的保存个体繁衍种族这种极为低下的生产水平和生活水平的斗争中不断发展随着生产水平和生活水平不断提高逐渐发展起对美和美感的追求并逐惭开始去思考美和探索美对称性就是人类对美的思考和探索之一人们在自己的实践中相继发现了一些能引起自己欢快愉悦感受的因素把它们称作具有对称性即具有对称性的形体是美的例如花朵一朵有个花瓣的花绕它的轴旋转一周有个位置看上去是完全一样的它给人以匀称的感受一个圆形则旋转任意的角度保持形状不变它具有更大的旋转对称性又例如人体或一些动物的形体一边与另一边完全相同可以折叠重合它具有左右对称它也给人以匀称和均衡的感觉再例如竹节或串珠平行移动一定的间隔图形完全重复它具有平移对称性它给人以连贯流畅的感受久而久之这些对称性的感受逐惭成为一项美学准则广泛应用于建筑造型艺术绘画以及工艺美术的装饰之中你可以从许多中外著名的建筑艺术珍品中看到天坛的建筑天安门的建筑颐和园长廊的建筑以及各种花瓶古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称左右对称和平移对称的典型例子这些对称美给人以匀称均衡连贯流畅的感受因而体现着一种娴静稳重庄严但却也显得有些平淡单调缺乏生机和妙趣横生这是因为对称性并没有包揽美的全部人们发现美除了对称之外还需要蜿蜒曲折错落有致此起彼伏美是对称与不对称结合的表现你看那起伏于山峦间蜿蜒曲折层层叠起的长城峰火台构成的美景不是给人以宏伟博大气势磅礴而又峰回路转巧夺天工的美的感觉吗美更是现代人的追求美吸引着各行各业的人去创造美好的人生享受美好的生活物理学中的形体对称性物理学的研究中也注意到形体上的对称性形体上的对称性常常使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识使问题得以简化甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解例如一个无阻力的单摆摆动起来其左右是对称的不必求解就可以知道向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间平衡位置两边等当位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的等等再例如一张无限大平面方格子的导体网络方格子每一边的电阻是在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线问这两条导线之间的等效电阻是多少这个问题看上去似乎很难求解它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程难以求解然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性利用对称性分析求解变得相当简单设想用一根导线连接到一个格点通以电电流从网络的边缘流出由于从该格点向四边流过的电流具有对称性因此流过与该可知点连接的每一边的电流必定是再设想电流从网络的边缘流入再从网络中心的一个格点上连接的一条导线从上流出根据同样的对称性分析流过与该格点连接的每一边的电流也必定是我们要求解的情形正是这两种情形的叠加电流从连接到一个格点的导线流入从连到相邻格点的导线流出而在网络边缘两种情形流出和流入的电流相互抵消结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加即为这条边的电阻是这意味剩下的电流通过其它边它相应的电阻应是换句话说从相邻格点来看这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为的并联其等效电阻为由此可以看出对称性分析在物理学中非常有用一旦明确了具有对称性问题常常变得简单可解在物理学中还利用形体上的对称性来研究晶体的分类等物理问题并取得丰硕的成果物理规律的对称性对称性的概念是否能进一步拓宽呢在这里我们需要把对称性概念更加精确休我们把事物的一种情况变化到另一种情况叫做变换操作如果一个变换使事物的情况没有变化或者说事物的情况在此变换下保持不变我们就说这个事物对于这一变换是对称的这个变换称为事物的对称变换在前面举的形体对称性的例子中旋转就是一种变换操作一个有个相同花瓣的花朵如香港特区区旗上的紫荆花绕垂直花面的轴旋转或整数倍角度完全是一样的没有什么变化我们就说它具有旋转对称性一个圆形则旋转任意角度保持形状不变它具有更大的旋转对称性相反地一个圆形边缘上有一个点或有些残缺这个点或残缺就能区分旋转前后的情况我们就说它不具有旋转对称性或旋转对称性是破缺的从左到右或从右到左的变换称为镜向变换人体和动物形体具有镜向变换不变性而竹节或串珠则具有空间平移不变性某一对称性即某一变换下的不变性粗浅而形象地看就是换一角度或换一场合来观察事物保持不变在旋转对称性中就是换一方向来观察在镜向对称性中是换到镜子里来观察在空间平移对称性中则是平移一位置来观察在上面谈到对称性的时候提到的事物不一定限指一个具体物件的形体物理学家更注意到物理规律的对称性就拿牛顿定律来说吧粗浅而形象地说从不同的方向看物体的运动都遵从牛顿定律牛顿定律具有旋转对称性镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿定律牛顿定律具有镜向对称性或空间反射对性在不同的时间昨天今天或明天物体的运动也都遵从牛顿定律牛顿定律具有时间平移对称性等等其他已知的物理定律也都具有类似的情况物理定律的这些对称性是偶然的吗是无关紧要的吗还是它意味着同物理定律本身有着某种更深刻更紧密的联系这个问题在本世纪以前似乎没有注意到本世纪开拓了许多新的物理研究领域在探索其中的物理定律的研究中这个问题变得突出地重要了爱因斯坦把对称性推上主角年爱因斯坦发表了一篇具有划时代意义的论文建立了狭义相对论论文的题目是论动体的电动力学论文中爱因斯坦提出相对性原理和光速不变原理在此基础上导出洛伦兹变换得到一系列不同于牛顿力学的得要结论不久爱因斯坦又得出了质能关系这些不同于牛顿力学的得要结论改变了人们的时空观统一了力学和电磁学解决了许多重要的物理问题并且还带给人类释放核能这样的巨大的实用价值这一系列的具体结论无疑是十分重要的人们常常仅仅是注重狭义相对论的这些具体结论而忽略了爱因斯坦在思考问题和研究问题上对人类作出的巨大贡献这就是他提示了物理规律上的一种新的对称性并且认识到对称性是制约物理规律的利器从而把对称性推到物理基础研究的主角地位这一新的对称性就是物理定律的洛伦兹变换不变性即物理定律必须具有洛伦兹变换下的不变性也就是说从不同惯性系来看物理定律的形式保持不变从内容上说它无非就是相对性原理内容的重复表述似乎一点也不起眼然而从探索物理基本定律的高度来看洛伦兹不变性实在是对物理定律的形式所加的一条强有力的限制物理定律的形式必须受到洛伦兹变换不变性的制约爱因斯坦审查了电磁学的麦克斯韦方程组它确实是洛伦兹不变性的而牛顿定律不是洛伦兹不变性的它必须改造以符合洛伦兹不变性的要求对它的改造则获得相对论的力学定律以后爱因斯坦认识到狭义相对论还存在某些不足它不过是必然发展过程的第一步一方面狭义相对论否定了一个特别优越的参考第绝对静止的惯性系但是它却肯定了一类特别优越的参考系那就是惯性系它比非惯性要更优越其中的物理规律的形式特别简捷这表明狭义相对论在运动的相对性上还不够彻底另一方面狭义相对论在整个物理学中排除了超距作用而牛顿引力定律的表述是超距作用的作为力学重要研究课题的引力问题还不能在狭义相对认论中予以处理因此需要发展一种把引力问题纳入且能回答是否存在特别优越参考系的更为广泛的相对论爱因斯坦在建立狭义相对论中领悟了对称性的威力他就去寻找一种新的对称性来发展他的广义相对论他终于从伽利略时代已经知道一切物体的重力加速度均相同的物理事实中凝炼出这一新的对称性爱因斯坦设想一个观察者在密封的升降机里做实验一种情形是升降机静止在地面地球看作是惯性系上其中存在地球的引力场任何物体的重力加速度均相等为另一种情形是升降机远离一切物体即处于没有引力场的地方相对于某个惯性系以加速度上升它是一具非惯性系在这两种情形下观察者测得物体下落的加速度都是他观察到的力学现象都相同他无法断定他所在的参考系究竟是引力场的惯性系还是并无引力的非惯性系这表明引力场作用的效果可以等效地用加速参考系来描述爱因斯坦把它称为等效原理根据等效原理非惯性系与引力场等价非惯性系与惯性系没有原则性的区别它们都可以同样好地用来描述物体的运动没有哪一个比另一个更优越由此爱因斯坦把相对性原理进一步推广一切参考系都是等价的物理定律应该具有广义的时空坐标变换的不变性而洛伦兹不变性只是它的一个特例爱因斯坦在等效原理和广义协变原理的基础上建立起广义相对论爱因斯坦的对称性制约物理定律的思想可以说是二十世纪物理基础研究方法上的一大飞跃他为物理学基础树立了一个光辉的典范二十世纪以前在力学方面从古希腊时期开始人们研究物体的运动行星的运动杠杆滑轮逐惭获得一些具体的结论在同错误的斗争中获得的力学知识日益增多经过漫长的历史发展到十七世纪八十年代才由牛顿总结出力学的基本定律在电磁学方面也是从古希腊时期开始人们发现摩擦起电磁石吸铁以后研究静电感应莱登瓶放电电流的磁效应等等积累了许多关于电荷相互作用电流产生磁磁产生电方面的知识经过漫长的历史发展到十九世纪六十年代才由麦克斯韦总结出电磁场的基本方程组二十世纪以前的物理基础研究路线可以概括为从一些具体事物入手研究它们的具体规律经过漫长的历史发展积累到一定程度才由某个伟大的物理学家总结前人研究成果得到该领域的物理基本定律这些物理基本定律的广泛应用更加丰富了人们的认识也包括对物理基本定律的认识爱因斯坦的研究方法与此有着根本的不同它不是从琐碎的具体问题入手而是一开始就从研究物理定律应有的对称性入手找出这些对称性来然后根据对称性确定物理定律的形式这是二十世纪以来物理基础研究的路线这一现代物理基础研究的路线充分体现了物理学中崇尚理性的威力它不是从众多具体而琐碎的事物中一点一滴地积累材料然后再整理出事物的基本定律而是一开始就从整体上寻找制约事物基本定律的普遍原则从中得出事物的基本定律这就大大地缩短了探索事物基本定律的历程物理基础研究的高速发展与此不无关系对称性与最小作用原理物理学中有一些规律属于基本定律它们具有支配全局的性质掌握它们显然是极端重要的例如力学中的牛顿定律是质点质点组机械运动非相对论的基本定律电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布变化的基本定律物理学中还有另外一种基本定律的表述形式这就是最小作用原理变分原理它可表述为系统的各种相邻的经历中真实经历使作用量取极值可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律麦克斯韦方程组的表述形式极不相同牛顿定律告诉我们质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定麦克斯韦方程组告诉我们此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场的变化决定它们以微分方程式的形式出现指明所研究系统质点或场的状态在其真实经历中是如何随时间变化的而最小作用原理则告诉我们系统的各种可能的经历中真实的经历总是使作用量取极值牛顿定律和麦克斯韦方程组把注意力集中在每一时刻系统所处的状态而最小作用原理则是总观系统的各种可能的经历并用作用量取极值挑选出真实的经历来可以看出牛顿定律和麦克斯韦方程组比较具体细致而最小作用原理则比较抽象含蓄正是最小作用原理比较抽象含蓄它概括的面更广泛不仅适用于机械运动非相对论场合可以导出牛顿定律而且也适合于电磁场场合可以导出麦克斯韦方程组甚至它还可以适合其他场合导出物理学其他领域的基本定律可见最小作用原理才是综合整个物理学的真正的基本定律根据最小作用原理导出各个领域的具体基本定律的方法就是先找出系统不同经历的作用量来然后从中选择出相对邻近的经历作用量取极值的经历它就是真实的经历其中隐含了系统变化的基本定律在这点要找出游同经历的作用量对称性分析起着决定性的作用对称性制约物理定律的形式得到最好的体现如果一具研究领域内的全部对称性已经清楚则作用量可以完全被确定从而也就可以得出这个领域的基本定律例如在非相对论力学范围内根据空间各向同性空间平移不变性时间平移不变性和伽利略变换不变性可以找出作用量等于系统的动能减去势能对经历的累加由此可导出牛顿定律由于存在最小作用原理对称性在物理基础研究中显示出其重要地位物理学家通过对称性分析找出不同经历的作用量从而确定具体领域的基本定律物理学家们研究一个新的领域常常是试探地分析其中的对称性在描述这个世界的作用量公式中增加一些描述新领域的项从而得到该领域的新的基本定律对称性与守恒定律对称性制约作用量的形式然而物理学家并不可能先验地知道我们这个世界所涉及到的全部对称性而已经确实知道的对称性又不足以完全确定作用量的形式尽管作用量可能具有的形式已经大大受到限制但他们仍然可以具有许许多多种可能的形式物理学家们不得不采用试探性的方法根据物理上的可能性依次考察每一个作用量的候选者这种试探性的方法艰巨而繁难而且很难说是有成效的年诺特提出一个著名定理给探寻作用量的形式带来了曙光诺特定理是说作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律有一个守恒量对称和守恒这两个得要概念是紧密地联系在一起的在经典力学中我们所熟悉的这种对应关系是时间平移对称性时间平移不变性对应于能量守恒空间旋转对称性空间各向同性对应于角动量守恒我们可以用浅显的例子加以说明先看时间平移对称性和能量守恒时间平移对称性要求物理定律不随时间变化即昨天今天和明天的物理定律都应该是相同的如果物理定律随时间变化例如重力法则随时间变化那还想利用重力随时间的可变性就可以在重力变弱时把水提升到蓄水池中去所需做的功较少在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来利用水力发电释放出较多的能量这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机这是与能量守恒定律相违背的这就清楚地说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系再看空间平移对称性与动量守恒考虑两个质点组成的系统它们的相互作用热能为是这两个质点位置的函数由于物理定律具有空间平移对称性质点的绝对位置是一个不可观测量质点间的相互作用势能只能依赖质点间的相对位置即将质点和质点移动相同的小量相互作用热能不变则相互作用力做功的总和为零由于位移相同因此相互作用力之和为零即两个质点之间的作用力与反作用力大小相等方向相反且在一条直线上这正是牛顿每三定律而我们知道在力学范围内牛顿第三定律与动量守恒是互为因果的可见空间平移对称性与能量守恒之间的联系至于空间各向同性与角动量守恒考虑两个质点组成的系统固定质点将质点以质点为中心移动一小段弧长如果相互作用力存在切向力分量则相互作用热能改变为切空是各向同性意味着两个质点相互作用势能只与它们之间的距离有关与两者联线在空间的取向无关所以移动操作不改变相互作用热能从而于是相互用力切向分量切或者说两质点的相互作用力沿两者的联线这与角动量守恒是等价的从而空间各向同性与角动量守恒是联系在一起的诺特定理引导物理学家们去寻找新领域中的守恒定律和守恒量由此确定其中的对称性从而获得作用量的形式和基本定律反过来如果知道了使一个给定的作用量保持不变的对称变换从而也就可以知道相应的守恒定律和守恒量这样使得物理学的基础研究有法可循而变得富有成效二十世纪三十年代以后由于加速机器技术和探测技术的发展利用粒子的碰撞和粒子相互作用的衰变实验物理学家相继发现了许多新粒子这些粒子中只有极少数的几个是理论上预言的绝大多数的粒子是突出其来的它们在性质上和相互关系上表现出极大的差别极大地丰富了人们对于粒子世界的认识形成了庞大的粒子物理领域而对如此庞大的粒子家庭亟须把它们整理出次序来物理学家们分析实验资料找出许多守恒量和守恒定律这些为认识粒子世界的对称性和探索其中的基本定律准备了条件对称性的凯旋到二十世纪中叶粒子世界呈现出非常复杂的局面粒子数目众多而且实验上发现和确证的粒子还在不断地增加粒子之间的相互作用有电磁作用引力作用强作用弱作用四种它们的区别很大电磁作用和引力作用是长程力强作用和弱作用是短程力它们的强度差别非常大强作用最强电磁作用次之弱作用更次引力作用最弱在粒子物理中引力作用可以不考虑对于电磁作用已经建立起量子电动力学它是物理学中最成功的理论在这个理论中力的传递者是电磁场场的量子是光子电磁作用是通过交换光子而传递的光子的静质量为零与电磁作用的长程性联系在一起关于弱作用在弱作用宇称不守恒基础上发展了弱作用的中间玻色子理论认为弱作用是交换中间玻色子而传递的中间玻色子的质量很大与电磁作用中的光子不同它是与弱作用的短程性联系在一起人们研究发现这四种相互作用所遵从的守恒定律不同强作用具有的守恒量最多电磁作用次之弱作用更次这表明它们具有的对称性是不同的对称性概念似乎不是严格的因此有人怀疑对称性概念是否普遍有效年杨振宁和米尔斯以一种并非象历史上的情况那样受到实验观察的启示而是以统一的美学原则为基础提出各种作用都可以适用的新的对称性称为阿贝尔群规范对称它是一种精确的定域规范变换对称性它要求存在一个场称为规范场对于电磁作用这一规范场就是电磁场相应的量子称为规范玻色子就是无静质量的光子规范场可以是多自由度的对每个自由度有相应的规范场这样这种精确对称性的存在就意味着存在许多组特性完全相同的质量均为零的粒子然而在现实世界里除了电磁作用的光子之外人们没有见到其他质量为零的规范玻色子因此杨一米尔斯理论尽管很优美但它似乎毫无用处对称是美的完美的对称只有唯一的一种相互作用世界也就变得单调而乏味年希格斯找到了使规范粒子获得质量的途径他得出描述规范场与其他场相互作用的方程式具有杨一米尔斯对称性但其解描述真实世界表现出不对称性这种对称性方程的不对称解称为自发破缺的对称性对称性自发破缺使规范粒子获得质量年温柏格了萨拉姆各自独立地抓住对称性自发破缺的思想在格拉肖电弱统一模型的基础上构思了统一电磁作用和弱作用的规范场理论其基本思想是电磁作用和弱作用本来属于具有有一种对称性的统一的相互作用这种相互作用通过交换四种规范粒子来传递它们的质量均为零在能量较低的范围对称性自发破缺了其中一种规范粒子仍然是无质量的它就是传递电磁作用的光子另外三种都获得较大的质量质量大约是质子的倍它们是传递弱作用的和粒子年电弱统一理论预言的结果被实验证实格拉肖温伯格了萨拉姆的电弱统一理论获得极大的成功电弱统一理论是对称性在物理基础研究中的一次伟大胜利它鼓舞物理学家们进而研究包括强作用的大统一理论以及把四种相互作用都统一起来的超对称大统一理论对称性概念将近一步发展并将进一步扩大其胜利成果