巧用全等三角形证明线段相等.doc

巧用全等三角形证明线段相等 三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具，而掌握三角形全等的判断方法，一方面可以培养同学们的逻辑推理能力，另一方面又可以为今后的进一步学习作好准备.为帮助大家顺利掌握利用全等三角形证明线段相等的有关知识，现举几例供大家参考—— （一）利用“SAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等 例1．如图①，已知点B是线段AC的中点，且有DB = EB，∠EBA=∠DBC. 试说明AD=CE成立的理由. 解：∵点B是线段AC的中点(已知)， ∴AB=CB（线段中点的意义）. 又∵∠EBA=∠DBC(已知)， ∴∠DBA=∠DBE＋∠EBA=∠DBE＋∠DBC=∠EBC. 在△ABD和△CBE中：
∴△ABD≌△CBE（SAS）. ∴AD=CE（全等三角形的对应边相等）. 评注：本例的解题依据是——有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”）. （二）利用“ASA”判定两三角形全等，从而得到线段相等 例2．如图②，已知∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA，试说明AC=DB 成立的理由. 解：∵∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA (已知). ∴∠ABC－∠ABD =∠DCB－∠DCA（等式的性质）， 即∠DBC＝∠ACB. 在△ABC和△DCB中：
∴△ABC≌△DCB（ASA）. ∴AC=DB（全等三角形的对应边相等）. 评注：本例的解题依据是——有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称为“角边角”）. （三）利用“AAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等 例3．如图③，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC.过点C作一条射线CE⊥AE于E，再过点B作BD⊥CE于D. 试说明AE=CD成立的理由. 解：∵∠ACB=90°(已知)， ∴∠2＋∠3=90°. 又∵CE⊥AE，BD⊥CE(已知)， ∴∠AEC=∠CDB=90°（垂直的意义）. ∴∠1＋∠2=90°， ∴∠1=∠3（等式的性质）. 在△ACE和△CBD中：
∴△ACE≌△CBD（AAS）. ∴AE=CD（全等三角形的对应边相等）. 评注：本例的解题依据是——有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称为“角角边”）. （四）利用“HL”判定两直角三角形全等，从而得到线段相等 例4．如图④，已知△ABC是等腰三角形，BD、CE 分别是△ABC两腰上的高线，试说明BE=CD成立的理由. 解：∵△ABC是等腰三角形(已知)， ∴AB=AC（等腰三角形两腰相等）. 又∵ EMBED Equation.DSMT4 
（已知）， ∴CE=BD（等式的性质）. 在Rt△BCE和Rt△CBD中：  EMBED Equation.DSMT4 
 ∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）. ∴AE=CD（全等三角形的对应边相等）. 评注：本例的解题依据是——有斜边和其中一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称为“斜边直角边”）. （五）综合运用多次全等，也能得到线段相等 例5．如图⑤，已知AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的任一点.试说明BE=CE成立的理由. 解：在△ABD和△ACD中：  EMBED Equation.DSMT4 
 ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）， ∴∠BDE=180°－∠ADB=180°－∠ADC=∠CDE. 在△BDE和△CDE中：  EMBED E