证明三角形全等常作的辅助线.doc

证明三角形全等常作的辅助线 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果找到了一组对应边，再找第二组条件，若又找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述结论可归纳为： 　　
搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法 例1 如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E. 求证：AB+BE=AC． 解法1:（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC， 由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45°， ∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC． 解法2:（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 △ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE. ∵∠ACE=45°, ∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC． 2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以过中点作平行线或中位线，对直角三角形,有时可作出斜边上的 中线． 例2 在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ． 证明：如图，过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°. ∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO. ∵∠DAO=∠QAO，OA=OA，∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ. ∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB. ∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD. ∵∠BPO=∠PAC+∠PCA=30°+40°=70°， ∠BOP=∠BAO+∠ABO=30°+40°=70°，∴BP=BO. ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ． 3．旋转法 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 　　例3　如图所示，已知点 EMBED Equation.DSMT4 
、 EMBED Equation.DSMT4 
分别在正方形 EMBED Equation.DSMT4 
的边 EMBED Equation.DSMT4 
与 EMBED Equation.DSMT4 
上，并且 EMBED Equation.DSMT4 
平分 EMBED Equation.DSMT4 
，求证： EMBED Equation.DSMT4 
. 分析：本题要证的 EMBED Equation.DSMT4 
和 EMBED Equation.DSMT4 
不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将 EM