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想念的刺
上传于：2024-06-17
证明三角形全等常作的辅助线
在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果找到了一组对应边，再找第二组条件，若又找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述结论可归纳为：
搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．
1．截长补短法
例1 如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E.
求证：AB+BE=AC．
解法1:（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，
由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45°，
∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．
解法2:（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知
△ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE.
∵∠ACE=45°, ∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．
2．平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以过中点作平行线或中位线，对直角三角形,有时可作出斜边上的 中线．
例2 在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ．
证明：如图，过O作OD∥BC交AB于D，
∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°.
∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO.
∵∠DAO=∠QAO，OA=OA，∴△ADO≌△AQO，
∴OD=OQ，AD=AQ.
∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB.
∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD.
∵∠BPO=∠PAC+∠PCA=30°+40°=70°，
∠BOP=∠BAO+∠ABO=30°+40°=70°，∴BP=BO.
∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ．
3．旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
例3 如图所示，已知点 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 分别在正方形 EMBED Equation.DSMT4 的边 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 上，并且 EMBED Equation.DSMT4 平分 EMBED Equation.DSMT4 ，求证： EMBED Equation.DSMT4 .
分析：本题要证的 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将 EM