2023届高考数学一轮知识点训练：抽象函数（含解析）.doc

第页共页届高考数学一轮知识点训练抽象函数一选择题共小题下列函数为奇函数的是已知定义在上的函数为实数为偶函数记则的大小关系为已知函数设则是奇函数在上单调递减奇函数在上单调递增偶函数在上递减在上递增偶函数在上递增在上递减已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增设则函数的定义域为若对于任意的当时都有则称函数在上为非减函数设在上为非减函数且满足以下条件则已知若若则的最值是最大值为最小值最大值为无最小值最大值为无最小值既无最大值又无最小值设是定义域为的偶函数且在上单调递减则已知函数的定义域为且满足是偶函数是奇函数若则等于下列函数中既是偶函数又在区间上单调递增的是第页共页若函数满足对定义域内任意的有则称函数具有性质则下列函数中不具有性质的是已知定义在上的函数满足下列三个条件对任意的都有对于任意的都有的图象关于轴对称则下列结论中正确的是已知函数则关于的不等式的解集为关于函数和实数的下列结论中正确的是若则若则若则若则已知为奇函数且当时则的值为已知符号函数是上的增函数则若定义在正整数有序对集合上的二元函数满足则的值是已知函数为偶函数且在单调递减则的解集为第页共页定义在上的函数是严格增函数若对任意存在使得成立则称是在上的追逐函数已知下列四个函数其中是在上的追逐函数的是已知是定义在上的偶函数且在内单调递减则设是含数的有限实数集是定义在上的函数若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合则在以下各项中的可能取值只能是二填空题共小题已知是定义在上的奇函数当时的图象如右图所示那么的值域是定义在上的奇函数在区间内是增函数且则不等式的解集是函数的定义域为其图象如图所示函数是定义域为的偶函数满足且时给出下列三个结论不等式的解集为函数的单调递增区间为其中所有正确结论的序号是第页共页已知定义在上的函数满足且对于任意均有若则的取值范围为设函数是定义在上的单调函数若对任意有且则的值是已知函数是偶函数当时则当时已知分别是定义在上的偶函数和奇函数且则三解答题共小题已知函数求证在上单调递增若在上的值域是求的值解下列各题已知函数求已知求已知函数对于任意的都有求设函数求证不论为何实数总为增函数确定的值使为奇函数在的条件下求的值域设判断函数的奇偶性并说明理由求证函数在上是严格增函数若求的取值范围已知函数的定义域是求证是偶函数是奇函数试将函数且表示成一个奇函数与一个偶函数的和设函数为常数若为偶函数求的值第页共页设为减函数求实数的取值范围已知函数的定义域是若对于任意的当时都有则称函数在上为非减函数判断与是否是非减函数已知函数在上为非减函数求实数的取值范围已知函数在上为非减函数且满足条件求的值若函数的定义域为集合若存在非零实数使得任意都有且则称为上的增长函数已知函数函数判断和是否为区间上的增长函数并说明理由已知函数且是区间上的增长函数求正整数的最小值请在以下两个问题中任选一个作答如果对任意正有理数都是上的增长函数判断是否一定为上的单调递增函数并说明理由如果是定义域为的奇函数当时且为上的增长函数求实数的取值范围第页共页答案解析的定义域为所以为非奇非偶函数与为偶函数令则满足所以为奇函数解析因为为偶函数所以因为而函数在上为增函数所以即解析因为所以为奇函数又所以所以是奇函数可排除又所以在上单调递增可排除解析根据题意是偶函数且在区间上单调递增则在上单调递减则又由则解析令由得则则令由得令得由非减函数的定义当时又因为所以解析由函数可画出函数的图象如图中粗线部分所示第页共页结合图象可知当即时函数有最大值得函数无最小值解析因为因为是定义域为的偶函数且在上单调递减所以解析因为为偶函数为奇函数所以所以所以所以又解析令则所以为偶函数关于轴对称且在上单调递增符合题意是偶函数则上是减函数是偶函数当时是增函数满足条件对称轴不是偶函数在上单调递增但不符合题意解析若定义域内任意的有则点连线的中点的上方如图其中第页共页根据函数的图象可知函数具有性质函数不具有性质解析由三个条件知函数的周期是在区间上是增函数且其对称轴为所以因为函数在区间上是增函数所以即解析根据题意因为函数所以有则函数为奇函数又因为由则函数在上为增函数即解得即其解集为解析因为所以函数是一个偶函数又时与是增函数且函数值为正故函数在上是一个增函数由偶函数的性质得函数在上是一个减函数此类函数的规律是自变量离原点越近函数值越小即自变量的绝对值小函数值就小反之也成立考察四个选项选项无法判断离原点的远近选项的绝对值大其函数值也大故不对选项是正确的由一定得出第页共页选项可得出但不能得出不成立故选解析方法一因为是所以又因为是奇函数所以方法二任取则所以因为是奇函数所以所以解析因为是上的增函数所以当时有则当时当时有则所以所以解析依题意因为所以所以解析因为为偶函数所以第页共页则即得得则若在单调递减则由得即得或即不等式的解集为解析由题意得若函数为在上的追逐函数则在上的值域相同且对任意因为在的值域为且对于当时设则所以对任意所以是在上的追逐函数对于当时设则所以对任意的所以是在上的追逐函数对于当时所以不是在上的追逐函数对于在的值域为所以不是在上的追逐函数综上所述其中是在上的追逐函数的有解析根据题意是定义在上的偶函数则又由在内单调递减且则有即有第页共页解析当时因为所以因为是奇函数所以又因为在单增所以当时因为所以因为为奇函数又因为在单增所以在单增又因为所以所以解析因为时所以因为是定义域为的偶函数所以由题意知故不正确因为在单调递减所以在单调递增因为所以是以为周期的周期函数所以上单调递增解析由得函数是偶函数若对于任意均有则此时函数为减函数因为即不等式等价为第页共页即则或解得或解析由题意存在使又因为函数是定义在上的单调函数所以这样的是唯一的又因为所以所以解得或舍所以从而设则因为所以所以在上单调递增因为在上的值域是又由得在上单调递增所以易得令所以所以所以因为令第页共页所以所以由题意在中以代替可得联立可得消去可得设则因为所以即则即不论为何实数总为增函数因为函数的定义域为若为奇函数所以即解得当时因为所以即即此时的值域为奇函数证明略或记定义域为对于任意的故是偶函数再记定义域为对于任意的故是奇函数设其中分别为奇函数偶函数则即由得其中且因为为偶函数且所以即即所以对一切成立第页共页所以因为且所以任取因为所以且又在区间上为减函数所以即所以又所以不是是因为则不是上的非减函数且设则显然满足且设则显然满足则显然满足综上所述是上的非减函数设则则设不等式恒成立即则得出第页共页因为函数在上为非减函数所以所以得到由知所以是因为不是反例当时由题意得对于恒成立等价于即对恒成立因为所以是关于的一次函数且单调递增于是只需解得所以满足题意的最小正整数为不是构造则对任意的正有理数若则因此若则因此因此是上的增函数但不是增函数根据题意当时则当时当时由奇函数的对称性可知当时当时则可得函数图象如图易知图象与轴交点为因此函数在上是减函数其余区间上是增函数第页共页是上的增长函数则对任意的都有易知当时为保证必有即故且所以解得故答案为