2023届高考数学二轮复习7-3函数与导数学案（含解析）.doc

第三讲函数与导数大题备考对函数与导数大题的考查多以对数函数指数函数为载体从含有参数的函数的单调性极值最值曲线的交点等方面进行设计解题时需要对参数分类讨论往往比较复杂难度较大微专题不等式恒能成立问题提分题例山东菏泽一模已知函数讨论的单调性若对于任意恒成立求实数的取值范围听课笔记例河北张家口一模已知函数当时证明当时若对都使恒成立求实数的取值范围听课笔记技法领悟不等式恒成立能成立问题的解题策略对于含参数的不等式如果易分离参数可先分离参数构造函数直接转化为求函数的最值否则应进行分类讨论在解题过程中必要时可作出函数图象草图借助几何图形直观分析转化恒成立与能成立问题的求解是互补关系即对于恒成立应求的最小值若存在使得成立应求的最大值应特别关注等号是否取到注意端点的取舍巩固训练已知函数当时求的极值若对任意的恒成立求实数的取值范围已知函数求函数的单调递增区间若对任意不等式恒成立求的取值范围微专题零点问题提分题例广东汕头三模已知函数求在的极值证明函数在有且只有两个零点听课笔记例河北邯郸二模已知函数若分析的单调性若在区间上有零点求实数的取值范围听课笔记技法领悟函数零点个数问题的解题策略直接法直接研究函数求出极值以及最值画出草图函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题分离参数法分离出参数转化为根据导数的知识求出函数在某区间的单调性求出极值以及最值画出草图函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题只需要用与函数的极值和最值进行比较即可根据函数零点的个数求参数范围的方法分离参数后将原问题转化为的值域最值问题或转化为直线与的图象的交点个数问题优选分离次选分类求解利用零点的存在性定理构建不等式求解转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题从而构建不等式求解巩固训练已知函数当时求在区间上的最小值若有两个零点求的取值范围河北唐山二模已知函数曲线和在原点处有相同的切线求的值以及的方程判断函数在上零点的个数并说明理由微专题不等式证明问题提分题例河北沧州二模已知函数求的单调区间证明听课笔记例山东省实验中学模拟已知函数求函数的最大值若关于的方程有实数根求实数的取值范围证明听课笔记例山东临沂一模已知函数若讨论的单调性若是函数的两个不同的零点证明听课笔记技法领悟证明单变量不等式的方法利用单调性证明单变量不等式一般地要证在区间上成立需构造辅助函数通过分析在端点处的函数值来证明不等式若只需证明在上单调递增即可若只需证明在上单调递减即可利用最值证明单变量不等式利用最值证明单变量的不等式的常见形式是证明技巧先将不等式移项即构造函数转化为证不等式再次转化为证明因此只需在所给的区间内判断的符号从而判断其单调性并求出函数的最小值即可得证证明双变量函数不等式问题的策略将双变量中的一个看作变量另一个看作常数构造一个含参数的辅助函数证明不等式整体换元对于齐次式往往可将双变量整体换元化为一元不等式若双变量的函数不等式具有对称性并且可以将两个变量分离开分离之后的函数结构具有相似性从而构造函数利用单调性证明巩固训练全国乙卷设函数已知是函数的极值点求设函数证明河北张家口三模已知函数在处取得极值求的值及函数的极值设有三个不同的零点证明第三讲函数与导数微专题不等式恒能成立问题提分题例解析当时在上单调递增当时令当时在上单调递减当时在上单调递增由得对于任意恒成立因此记由得当时单调递减当时单调递增所以因此记易知单调递减所以所以综上例解析当时令则所以在上单调递增且所以即令则所以在上单调递减在上单调递增且所以所以所以当时有所以当时因为使恒成立令只需即在上恒成立整理得设则设又可得时单调递增时单调递减因此当时有最小值所以在上单调递增所以式即所以即设则令解得当时函数单调递增当时函数单调递减所以所以所以实数的取值范围为巩固训练解析当时的定义域为则令则令则所以在上单调递减在上单调递增当时取得极小值且为无极大值对任意的恒成立则对任意的恒成立令所以则在上单调递减在上单调递增所以所以则则实数的取值范围为解析定义域为即解得所以在单调递增对任意不等式恒成立即恒成立分离参数得令则当时在上单调递减当时在上单调递增所以即故的取值范围是微专题零点问题提分题例解析由得令得当时此时函数单调递减当时此时函数单调递增所以函数的极小值为无极大值证明则令则当时则在上单调递减所以存在使得当变化时变化如表单调递增极大值单调递减而则又令其中则所以函数在上单调递增则所以由零点存在定理可知函数在上有两个零点例解析且设当时单调递增当时单调递减故当时函数有最小值因此有设时即取等号的条件是是上的单调递减函数在区间上能成立且设当时单调递减当时单调递增故当时函数有最大值因此有设则设则在区间上单调递增故亦即单调递减在区间上值域为实数的取值范围是巩固训练解析令得当时函数单调递减当时函数单调递增当时有极小值也是最小值最小值为定义域由题意即有两个零点令所以在时函数单调递增当时函数单调递减所以函数的最大值时函数的图象如图所示所以所以解析依题意得的方程当时此时无零点当时令则显然在上单调递增又所以存在使得因此可得时单调递减时单调递增又所以存在使得即时单调递减时单调递增又所以在上有一个零点综上在上有个零点微专题不等式证明问题提分题例解析函数定义域为当时单调递增当时时单调递减时单调递增综上当时的单调递增区间为无单调递减区间当时的单调递减区间为单调递增区间为证明由知当时且所以因为所以不等式等价于令则在时恒成立所以当时又所以故即例解析当时当时在上单调递增在上单调递减所以即当时取最大值依题意令当时当时在上单调递增在上单调递减即因此的值域是方程有解有所以实数的取值范围是证明由知当且仅当时取等号因此当时即当时所以例解析的定义域为当时令则当时当时所以在上递减在上递增因为是函数的两个不同的零点所以显然则有所以不妨令设所以所以要证只要证即令则所以在上递增所以所以因为所以要证只要证即因为所以只要证即即令则所以在上递减所以所以综上巩固训练解析由题意得则因为是函数的极值点所以所以证明由可知其定义域为当时此时当时此时易知的定义域为且故要证只需证即证令则且则只需证即证令则所以在上单调递减在上单调递增所以即成立解析函数的定义域为由已知解得当或时当时在处取得极大值在处取得极小值证明由知极大值为极小值为由有三个不同的零点可知设在上单调递增由知且在上单调递减设在上单调递增由知且在上单调递增结合得所以