数学-人教A版-一轮复习-课时作业4：选修4－1 几何证明选讲.doc-选修4-1 几何证明选讲-系列4选讲-学案.doc

选修4-1 几何证明选讲 (建议用时：50分钟) 1.(2015·江苏卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB. 证明　因为AB＝AC， 所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB. 2.(2015·湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明： (1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2) FE·FN＝FM·FO. 证明　(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°. (2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得 FE·FN＝FM·FO. 3.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点.若CF∥AB. 证明：(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD. 证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB，所以eq \o(AF,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))， 所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，所以eq \o(GB,\s\up8(︵))＝eq \o(CF,\s\up8(︵))，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD. 所以∠BGD＝∠BDG， 因为CD＝BC， 所以∠CBD＝∠CDB. 因为∠BGD＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD. 4.(2015·全国Ⅰ卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E. (1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若OA＝eq \r(3)CE，求∠ACB的大小. (1)证明　如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE， 则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线. (2)解　设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2eq \r(3)，BE＝eq \r(12－x2).由射影定理可得AE2＝CE·BE， 所以x2＝eq \r(12－x2)，即x4＋x2－12＝0. 可得x＝eq \r(3)，所以∠ACB＝60°. 5.(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO 交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C. (1)证明：∠CBD＝∠DBA； (2)若AD＝3DC，BC＝eq \r(2)，求⊙O的直径. (1)证明　因为DE为⊙O直径， 则∠BED＋∠EDB＝90°， 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 从而∠CBD＝∠BED， 又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA. (2)解　由(1)知BD平分∠CBA， 则eq \f(BA,BC)＝eq \f(AD,CD)＝3，又BC＝eq \r(2)，从而AB＝3eq \r(2)， 所以AC＝eq \r(AB2－BC2)＝4，所以AD＝3， 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝eq \f(AB2,AD)＝6， 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3. 6.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC. (1)求证：FB＝FC； (2)求证：FB2＝FA·FD； (3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长. (1)证明　因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC. 因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC. 因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB， 所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC. (2)证明　因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC， ∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB， 所以eq \f(FB,FD)＝eq \f(FA,FB)，所以FB2＝FA·FD. (3)解　因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°， 又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°， ∠DAC＝eq \f(1,2)∠EAC＝60°，因为BC＝6， 所以AC＝BCtan∠ABC＝2eq \r(3)， 所以AD＝eq \f(AC,cos∠DAC)＝4eq \r(3)(cm). 7.(2015·全国Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于