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小城管小商贩
上传于：2024-06-15
例题分析：几何证明选讲
例1 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为AC中点，AD⊥BC于D，DE交BA的延长线于F．求证：BF∶DF＝AB∶AC．
【分析】欲证，虽然四条线段可分配于△ABC和△DFB中，由于△ABC和△FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt△BAC∽Rt△BDA，得出，于是只需证出，进而须证△DFB∽△AFD即可．
证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B，∴……①
又∵AD⊥BC，E为AC中点，
∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，
又∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FDB，∴………②，
由①②得
【说明】由于△ABC和△FBD这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三