例题分析：几何证明选讲（拓展）.doc

例题分析：几何证明选讲 例1 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为AC中点，AD⊥BC于D，DE交BA的延长线于F．求证：BF∶DF＝AB∶AC．
【分析】欲证
，虽然四条线段可分配于△ABC和△DFB中，由于△ABC和△FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt△BAC∽Rt△BDA，得出

，于是只需证出
，进而须证△DFB∽△AFD即可． 证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC， ∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B，∴
……① 又∵AD⊥BC，E为AC中点， ∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE， 又∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FDB，∴
………②， 由①②得
【说明】由于△ABC和△FBD这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．
例2 △ABC中，∠A＝60°，BD，CE是两条高，求证：
【分析】欲证
，只须证
． 由已知易得
，于是只须证明
进而想到证明△ADE∽△ABC，这可以由
证得． 证明：∵∠A＝60°，BD，CE是两条高，∴∠ABD＝∠ACE＝30° ∵
，
，∴
，又∠A＝∠A ∴△ADE∽△ABC，∴ EMBED Equation.3 
. 【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理． 例3 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD、EC交于F，求证 EMBED Equation.3 

【分析】CD、FD在△FDC中，AD、BD在△BDA中，所以证△FDC与△BDA相似便可以得到结论． 证明：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠BAD＋∠B＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∴△FDC∽△BDA， ∴ EMBED Equation.3 
 【说明】为什么找到△FDC与△BDA相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD、AD在△ADC中，但线段FD、BD却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD、FD在△FDC，AD、BD在△BDA中，所以证△FDC与△BDA相似便可以得到结论． 小结为“横瞧竖看分配相似三角形”． 例4 如图，平行四边形ABCD，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，求证：AB·DE＝BC·DF
【分析】化求证的等积式为比例式： EMBED Equation.3 
，又因为CD＝AB，AD＝BC，即证明比例式 EMBED Equation.3 
 证明：∵平行四边形ABCD，∴∠C＝∠A， ∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∴∠AED＝∠DFC＝90°，∴△CFD∽△AED，∴ EMBED Equation.3 
 ∵CD＝AB，AD＝BC，∴ EMBED Equation.3 
即AB·DE＝BC·DF． 【说明】 EMBED Equation.3 
，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD＝AB，AD＝BC所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式： EMBED Equation.3 
，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中． 例5 AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D．
(1)求证：△CDQ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值． 【分析】证明△CDQ是等腰三角形，只需证明∠DCQ＝∠Q，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算． (1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°．∵CD