数学-人教A版-一轮复习-课时作业3：第2讲 直线与圆.doc-选修4-1 几何证明选讲-系列4选讲-学案.doc

第2讲　直线与圆
(建议用时：50分钟) 一、填空题 1. 如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝eq \f(1,2)BC，则sin∠MCA＝________． 解析　由弦切角定理得， ∠MCA＝∠ABC，sin ∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(AC,\r(AC2＋BC 2))＝eq \f(AC,\r(5)AC)＝eq \f(\r(5),5)，则sin ∠MCA＝eq \f(\r(5),5). 答案　eq \f(\r(5),5) 2．(2014·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________． 解析　由题意QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，PA＝4，∵PA＝PB，∴PB＝4. 答案　4 3. 如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq \f(3,2)，则线段CD的长为________． 解析　因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，因为CF∥BD，所以eq \f(AF,AB)＝eq \f(CF,BD)即eq \f(3,4)＝eq \f(2,BD)，BD＝eq \f(8,3).设CD＝x，AD＝4x，所以DC·DA＝BD2即4x2＝eq \f(64,9)，所以x＝eq \f(4,3). 答案　eq \f(4,3) 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝eq \r(5)－1，则AC＝________． 解析　由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB， 又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2. 答案　2 5. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________． 解析　由题意知，AB＝6，AE＝1， ∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5. 答案　5 6. 如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________． 解析　∵PB切⊙O于点B， ∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA， ∴∠DBA＝∠ACB，又∠A是公共角， ∴△ABD∽△ACB.∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AB)， ∴AB2＝AD·AC＝mn， ∴AB＝eq \r(mn). 答案　eq \r(mn) 7. 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为______． 解析　∵AC、AD分别是两圆的切线， ∴∠C＝∠2，∠1＝∠D， ∴△ACB∽△DAB. ∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(AB,BD)， ∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8. ∴AB＝2eq \r(2)(舍去负值)． 答案　2eq \r(2) 8．(2013·湖南卷)如图，在半径为eq \r(7)的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________． 解析　由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD. 又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4， ∴CD＝PC＋PD＝5. 过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点， ∴OE＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))\s\up12(2))＝eq \r(7－\f(25,4))＝eq \f(\r(3),2). 答案　eq \f(\r(3),2) 9. (2013·重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________． 解析　在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°.∵AB＝20， ∴AC＝10，BC＝10eq \r(3). ∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5eq \r(3). 由切割线定理得DC2＝DE·DB， 即(5eq \r(3))2＝15DE，∴DE＝5. 答案　5 二、解答题 10. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB. (1)求证：OC∥AD； (2)若AD＝2，AC＝eq \r(5)，求AB的长． (1)证明　∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD. (2)解　∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD， 由