高考数学一轮复习——证明（Word含答案）.doc

高考数学一轮复习——证明 一、选择题 1．[2022·大庆联考]用反证法证明命题：“若a2＋b2＋c2＋d2＝0，则a，b，c，d都为0”．下列假设中正确的是(　　) A．假设a，b，c，d都不为0 B．假设a，b，c，d至多有一个为0 C．假设a，b，c，d不都为0 D．假设a，b，c，d至少有两个为0 2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 证明过程如下： ∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 又∵a，b，c不全相等， ∴以上三式至少有一个“＝”不成立． ∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). ∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 此证法是(　　) A．分析法　　　　　　　　B．综合法 C．分析法与综合法并用 D．反证法 3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是(　　)
A.①—分析法，②—综合法 B．①—综合法，②—分析法 C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法 5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第二步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为(　　) A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) B.1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1) C.1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1) 6．在△ABC中，sin A sin Cb>c，且a＋b＋c＝0，求证 eq \r(b2－ac) < eq \r(3) a”索的因应是(　　) A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 9．设a，b，c都是正数，则a＋ eq \f(1,b) ，b＋ eq \f(1,c) ，c＋ eq \f(1,a) 三个数(　　) A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 二、填空题 10．如果a eq \r(a) ＋b eq \r(b) >a eq \r(b) ＋b eq \r(a) ，则a，b应满足的条件是____________． 11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设__________________． 12．若P＝ eq \r(a＋6) ＋ eq \r(a＋7) ，Q＝ eq \r(a＋8) ＋ eq \r(a＋5) (a≥0)，则P，Q的大小关系是______________． 13．[2022·广东茂名模拟]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0)) ，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么用上述校验方程组可判断k等于(　　) A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7 14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为(　　) A．a，b都能被5整除 B．a，b不都能被5整除 C．a，b至少有一个能被5整除 D．a，b至多有一个能被5整除 15．设a，b∈R，给出下列条件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号). [2022·山东昌乐二中模拟]已知向量a1＝(1，1)，bn＝( eq \f(1,n) ，0)，an＋1＝an－(an·bn＋1)bn＋1(n∈N*)，则 eq \f(a1·b3,22) ＋ eq \f(a2·b4,32) ＋…＋ eq \f(a9·b11,102) ＝_______ 答案 1．C　需假设a，b，c，d不都为0. 2．B　由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义． 3．A　“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A. 4．B　根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法，故选B. 5．D　∵用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n时，当n＝1时左边所得的项是1＋2；假设n＝k时，命题成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)，∴从“k→k＋1”需增添的项是2k＋1＋2(k＋1)，∴1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1).故选D. 6．C　sin A sin C0⇒cos B＝cos [π－(A＋C)]＝－cos (A＋C)<0⇒B为钝角⇒△ABC一定是钝角三角形． 7．C　当n＝k＋1时，左边为1＋ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＋…＋ eq \f(1,2k－1) ＋ eq \f(1,2k) ＋ eq \f(1,2k＋1) ＋…＋ eq \f(1,2k＋1－1) ，增加了 eq \f(1,2k) ＋ eq \f(1,2k＋1) ＋…＋ eq \f(1,2k＋1－1) ，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C. 8．C　由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证  eq \r(b2－ac) < eq \r(3) a只要证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“ eq \r(b2－ac) < eq \r(3a) ”索的因应是(a－c)(a－b)>0，故选C. 9．D　假设a＋ eq \f(1,b) ，b＋ eq \f(1,c) ，c＋ eq \f(1,a) 都小于2，则有a＋ eq \f(1,b) ＋b＋ eq \f(1,c) ＋c＋ eq \f(1,a) <6. 又∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋ eq \f(1,b) ＋b＋ eq \f(1,c) ＋c＋ eq \f(1,a) ＝(a＋ eq \f(1,a) )＋(b＋ eq \f(1,b) )＋(c＋ eq \f(1,c) )≥2  eq \r(a·\f(1,a)) ＋2  eq \r(b·\f(1,b))