2022学年高考数学模拟测试卷（Word含答案）.doc

2022学年高考数学模拟测试卷 一、单选题 1．集合 𝐴={−3,1,2} ， 𝐵={−1,1} ，则集合 𝐴∪𝐵 =（　　） A．{1} B．{−3,−1,1,2} C．{−3,2} D．𝜙 2．若复数 𝑧 满足 (1−2𝑖)·𝑧=|4+3𝑖| ，则 𝑧 的共轭复数的虚部为（　　） A．−5 B．−2 C．5 D．2 3．设𝑎→,𝑏→为向量。则𝑎→·𝑏→=𝑎→𝑏→是𝑎→∥𝑏→的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件 4．观察下列各式：a+b=1，a²+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，,则a10+b10=（　　） A．28 B．76 C．123 D．199 5．设函数𝑓𝑥=𝑥+𝑎𝑛，其中𝑛=3π2πsinπ+x𝑑𝑥，𝑓'0𝑓0=−3，则𝑓𝑥的展开式中𝑥2的系数为（　　） A．−240 B．−60 C．60 D．240 6．设数列{an}中，已知a1=1，an=1+ 1𝑎𝑛−1 （n＞1），则a4=（　　） A．85 B．53 C．32 D．2 7．函数y=log2（x+1）的图象经过（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0） 8．如图是函数 𝑦＝2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥＋𝜑)(|𝜑|<𝜋2 )的图象，那么(　　)
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
9．已知 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+12)−1 是 𝑅 上的奇函数， 𝑎𝑛=𝑓(0)+𝑓(1𝑛)+⋯+𝑓(𝑛−1𝑛)+𝑓(1) ， 𝑛∈𝑁∗ ，则数列 {𝑎𝑛} 的一个通项公式为（　　）． A．𝑎𝑛=𝑛+1 B．𝑎𝑛=3𝑛+1 C．𝑎𝑛=3𝑛+3 D．𝑎𝑛=𝑛2−2𝑛+3 10．若 𝛼∈(𝜋2,𝜋) ，且 3cos2𝛼=2sin(𝜋4−𝛼) ，则 cos2𝛼 的值为 (　　) A．−429 B．429 C．−79 D．79 11．1707年𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟发现了指数与对数的互逆关系：当𝑎>0，𝑎≠1时，𝑎𝑥=𝑁等价于𝑥=log𝑎𝑁.若𝑒𝑥=12.5，lg2≈0.3010，lg𝑒≈0.4343，则𝑥的值约为（　　） A．3.219 B．2.3256 C．2.5259 D．2.7316 12．已知b＞a＞0，ab=2，则 𝑎2+𝑏2𝑎−𝑏 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，﹣4） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2） 二、填空题 13．已知向量 𝑎=(5,4) ， 𝑏=(𝑚,15) ，若 𝑎⊥𝑏 ，则 𝑚=　 　. 14．函数f（x）在R上为奇函数，且x＞0时，f（x）= 𝑥 +1，则当x＜0时，f（x）=　 　． 15．在锐角 𝛥𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴、𝐵、𝐶 的对边分别为 𝑎、𝑏、𝑐 ，若 3𝑎−2𝑐sin𝐴=0 ， 𝑐=2 ，则 𝑎+𝑏 的取值范围是　 　． 16．若函数 𝑓(𝑥)(2−𝑎)𝑥+3𝑎,𝑥≤14𝑥,1<𝑥≤4−𝑥2+2𝑎𝑥,𝑥>4 是 𝑅 上的单调函数，则实数 𝑎 的取值范围为　 　． 三、解答题 17．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a＝2,c＝3，又知bsinA＝acos（B −𝜋6 ）． （Ⅰ）求角B的大小、b边的长： （Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值． 18．2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表： 竞赛得分 [50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100] 频率 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 （1）如果规定竞赛得分在(80,90]为“良好”，竞赛得分在(90,100]为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率； （2）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为𝑋，求随机变量𝑋的分布列及数学期望． 19．等差数列 {𝑎𝑛} 中， 𝑎1=4 ，且 𝑎1 ， 𝑎3 ， 𝑎7 成等比数列． （1）求数列 {𝑎𝑛} 的通项公式； （2）记 𝑆𝑛 为数列 {𝑎𝑛} 的前n项和，是否存在正整数n，使得 𝑆𝑛>19𝑛+80 ？若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由． 20．已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥𝑥 ， 𝑔(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−𝑎−1 且 𝑦=𝑥−1 是曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 的切线. （1）求实数a的值以及切点坐标； （2）求证： 𝑔(𝑥)⩾𝑓(𝑥) . 21．已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R． （Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值； （Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由． 22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 𝑥=−2+𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑡 为参数 ). 以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 𝜌2(4+5𝑠𝑖𝑛2𝜃)=36 ． （1）求l和C的直角坐标方程； （2）设 𝑃(−2,0) ，l和C相交于A，B两点，若 |𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=4 ，求 𝑠𝑖𝑛𝛼 的值． 23．设函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣2|． （Ⅰ）求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）若f（x）＜ax+1有解，求实数a的取值范围．  答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】C 12．【答案】A 13．【答案】-12 14．【答案】﹣ −𝑥 ﹣1 15．【答案】(23,4] 16．【答案】(2,178] 17．【答案】解：（Ⅰ）∵bsinA＝acos（B −𝜋6 ）．∴bsinA＝a（ 32 cosB −12 sinB）， ∴由正弦定理可得sinBsinA＝sinA（ 32 cosB −12 sinB），∵sinA≠0， ∴sinBsinA＝sinA（ 32 cosB −12 sinB），可得sin（B −𝜋3 ）＝0， ∵B∈（0，π），B −𝜋3 ∈（ −𝜋3 ， 2𝜋3 ）， ∴B −𝜋3= 0，可得B =𝜋3 ． ∵a＝2，c＝3， ∴由余弦定理可得 b =𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=4+9−2×2×3×12=7 ． （Ⅱ）∵B =𝜋3 ，a＝2，b =7 ．∴由正弦定理 𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 ， 可得sinA =𝑎⋅𝑠𝑖𝑛𝐵𝑏=217 ，cosA =1−𝑠𝑖𝑛2𝐴=277 ， sin2A＝2sinAcosA =437 ，cos2A＝2cos2A﹣1 =17 ， ∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB =437×12−17×32=3314 ． 18．【答案】（1）解：成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为110． 所以成绩为“良好”的抽取30×110=3人，成绩为“优秀”的抽取20×110=2人． 所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为𝑃=𝐶22𝐶52=110． （2）解：由题意知，𝑋的可能取值0，1，2，3． 由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为𝑃1=20100=15，竞赛得分不是“优秀”的概率为𝑃2=1−𝑃1=1−15=45．若以频率估计概率，则𝑋服从二项分布𝐵(3,15)． 𝑃(𝑋=0)=𝐶30(15)0(45)3=64125；𝑃(𝑋=1)=𝐶31(15)1(45)2=48125；𝑃(𝑋=2)=𝐶32(15)2(45)1=12125；𝑃(𝑋=3)=𝐶33(15)3(45)0=1125． 所以𝑋的分布列为 𝑋 0 1 2 3 𝑃 64125 48125 12125 1125 𝐸(𝑋)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35． 19．【答案】（1）解：设数列 {𝑎𝑛} 的公差为d，依题意得，4， 4+2𝑑 ， 4+6𝑑 成等比数列， 故有 (4+2𝑑)2=4(4+6𝑑) ，化简得 𝑑2−2𝑑=0 ，解得 𝑑=0 或 𝑑=2 ． 当 𝑑=0 时， 𝑎𝑛=4 ；当 𝑑=2 时， 𝑎𝑛=4+(𝑛−1)⋅2=2𝑛+2 ． 从而得数列 {𝑎𝑛} 的通项公式为 𝑎𝑛=4 或 𝑎𝑛=2𝑛+2 （2）解：当 𝑎𝑛=4 时， 𝑆𝑛=4𝑛 ，显然 4𝑛<19𝑛+80 ，此时不存在正整数n，使得 𝑆𝑛>19𝑛+80 成立． 当 𝑎𝑛=2𝑛+2 时， 𝑆𝑛=𝑛[4+(2𝑛+2)]2=𝑛2+3𝑛 ．令 𝑛2+3𝑛>19𝑛+80 ，即 𝑛2−16𝑛−80>0 ， 解得 𝑛>20 或 𝑛<−4 （舍去），此时存在正整数n，使得 𝑆𝑛>19𝑛+80 成立，n的最小值为21． 综上，当 𝑎𝑛=4 时，不存在满足题意的正整数n；当 𝑎𝑛=2𝑛+2 时，存在满足题意的正整数n，其最小值为21 20．【答案】（1）解：设切点为 (𝑥0,𝑎𝑙𝑛𝑥0𝑥0) ，则切线为 𝑦−𝑎𝑙𝑛𝑥0𝑥0=𝑎(1−𝑙𝑛𝑥0)𝑥02(𝑥−𝑥0) 即 𝑦=𝑎(1−𝑙𝑛𝑥0)𝑥02𝑥+2𝑎𝑙𝑛𝑥0−𝑎𝑥0 从而 𝑎(1−𝑙𝑛𝑥0)𝑥02=12𝑎𝑙𝑛𝑥0−𝑎𝑥0=−1 消去a得： 𝑥0−1+𝑙𝑛𝑥0−2𝑥0𝑙𝑛𝑥0=0 记 𝑚(𝑡)=𝑡−1+𝑙𝑛𝑡−2𝑡𝑙𝑛𝑡(𝑡>0) 则 𝑚′(𝑡)=1𝑡−2𝑙𝑛𝑡−1 ，显然 𝑚′(𝑡) 单调递减且 𝑚′(1)=0 ， 所以