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zui迷人zui成熟
上传于：2024-07-18
2022届湖北省武汉市高考数学模拟试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若集合A＝{0,1,2}，B＝{x|x2－3x≤0}，则A∩B为( )
A．{1,2} B．{0,1,2} C．{0,1,2,3} D．{x|0≤x≤3}
2．已知复数z满足(2－i)z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A．1 B．－1 C．0 D．i
3．已知定义域为R的奇函数f (x)，当x>0时，满足f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－log2(7－2x(，0\f(3,2)，))则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)等于( )
A．log25 B．－log25 C．－2 D．0
4．两正数a，b的等差中项为eq \f(5,2)，等比中项为eq \r(6)，且a>b，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率e为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(\r(5),3) D .eq \f(\r(13),3)
5．设函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋θ))－eq \r(3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋θ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|θ|<\f(π,2)))的图象关于原点对称，则θ的值为( )
A．－eq \f(π,6) B.eq \f(π,6) C．－eq \f(π,3) D.eq \f(π,3)
6．过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2019的值为( )
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
8．设点P为函数f (x)＝eq \f(1,2)x2＋2ax与g(x)＝3a2lnx＋b(a>0)的图象的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知01，则下列各式中不成立的是( )
A．abca C．logac>logbc D．blogca>alogcb
10．下列四个命题中正确的是( )
A．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝logaax(a>0且a≠1)的定义域相同
B．函数y＝eq \r(x)与函数y＝3x的值域相同
C．函数y＝|x＋1|与函数y＝2x＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数
D．y＝lgeq \f(1＋x,1－x)是奇函数
11．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是( )
A．若m∥l，且m⊥α，则l⊥α
B．若m∥l，且m∥α，则l∥α
C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n
D．若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m
12．把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是( )
A．g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递增 B．g(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称
C．g(x)的最小正周期为4π D．g(x)的图象关于y轴对称
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝eq \f(1,y)，P(B)＝eq \f(4,x)，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．
14．已知正方形ABCD的边长为2，P为平面ABCD内一点，则(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·(eq \o(PC,\s\up6(→))＋eq \o(PD,\s\up6(→)))的最小值为________．
15．将数列{an}中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列．
a1
a2，a3
a4，a5，a6，a7
a8，a9，a10，a11，a12，a13，a14，a15
……
记数阵中的第1列a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Tn为数列{bn}的前n项和，Tn＝5n2＋3n，则bn＝________，a1025＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lnx|，0e，))若a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋c的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d(a1∈Z，d∈Z)，前n项的和为Sn，且S7＝49,24b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围．
22．(12分)已知函数f (x)＝ex－ax－a(其中e为自然对数的底数)．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若对任意x∈(0,2]，不等式f (x)>x－a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设n∈N*，证明：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)))n＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n)))n<eq \f(e,e－1).
答案精析
1．B 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C
7．C [当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，①
故an＋1＋2Sn＝n＋1，②
由②－①得，an＋1－an＋2(Sn－Sn－1)＝1，
即an＋1＋an＝1(n≥2)，
所以S2019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2018＋a2019)＝1010.]
8．B [设P(x0，y0)，
由于点P为切点，则eq \f(1,2)xeq \o\al(2,0)＋2ax0＝3a2lnx0＋b，
又点P的切线相同，则f′(x0)＝g′(x0)，
即x0＋2a＝eq \f(3a2,x0)，
即(x0＋3a)(x0－a)＝0，又a>0，x0>0，∴x0＝a，
于是，b＝eq \f(5,2)a2－3a2lna(a>0)，
设h(x)＝eq \f(5,2)x2－3x2lnx(x>0)，则h′(x)＝2x(1－3lnx)(x>0)，
所以h(x)在(0， EMBED Equation.DSMT4 )上单调递增，在( EMBED Equation.DSMT4 ，＋∞)上单调递减，
b的最大值为h( EMBED Equation.DSMT4 )＝eq \f(3,2) EMBED Equation.DSMT4 .]
9．ABC [由于01，根据指数函数与幂函数的图象与性质有ab>aa>ba，故选项A错误；
根据指数函数的图象与性质有cbba，c>1，则logcab>logcba，即blogca>alogcb，故选项D正确．]
10．ACD [A项，函数y＝ax(a>0且a≠1)，
y＝logaax(a>0且a≠1)的定义域都是R，故A正确；
B项，函数y＝eq \r(x)值域为[0，＋∞)，
函数y＝3x的值域为(0，＋∞)，故B错误；
C，当x∈[0，＋∞)时，函数y＝|x＋1|＝x＋1是增函数，
函数y＝2x＋1是增函数，故C正确；
D项，y＝lg eq \f(1＋x,1－x)的定义域是(－1,1)，令f (x)＝lg eq \f(1＋x,1－x)，
f (－x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－lg eq \f(1＋x,1－x)＝－f (x)，
故函数y＝lg eq \f(1＋x,1－x)是奇函数，故D正确．]
11．AD [A正确，B中直线l可能平行于α也可能在α内，故B错；C中直线l，m，n可能平行也可能相交于一点，故C错；D正确．]
12．BCD [把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象，
再将图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度得到函数
g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象．
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))，则2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，
∴g(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递增，故A正确；
由geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \f(1,2)≠0知，
g(x)的图象不关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称，故B错误；
g(x)的最小正周期为π，故C错误；
∵g(0)＝－eq \f(1,2)≠±1，
∴g(x)的图象不关于y轴对称，故D错误．]
13．9
解析 由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)＝eq \f(1,y)，
P(B)＝eq \f(4,x)，且x>0，y>0，所以P(A)＋P(B)＝eq \f(1,y)＋eq \f(4,x)＝1，
所以x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(4,x)))＝5＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)
≥5＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝9，
当且仅当x＝6，y＝3时取等号，所以x＋y的最小值为9.
14．－4
解析 由题意，以A为坐标原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，建立平面直角坐标系，
因为正方形ABCD的边长为2，
所以可得A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，
设P(x，y)，则eq \o(PA,\s\up6(→))＝(－x，－y)，
eq \o(PB,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，
eq \o(PC,\s\up6(→))＝(2－x,2－y)，eq \o(PD,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，
所以eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＝(2－2x，－2y)，eq \o(PC,\s\up6(→))＋eq \o(PD,\s\up6(→))＝(2－2x,4－2y)，
因此(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·(eq \o(PC,\s\up6(→))＋eq \o(PD,\s\up6(→)))＝4(1－x)2－4y(2－y)＝4(x－1)2＋4(y－1)2－4≥－4，
当且仅当x＝y＝1时，取得最小值－4.
15．10n－2 216
解析 Tn为数列{bn}的前n项的和，Tn＝5n2＋3n，
bn＝Tn－Tn－1＝(5n2＋3n)－[5(n－1)2＋3(n－1)]＝10n－2(n≥2)，
验证n＝1时，b1＝T1＝8也符合，故bn＝10n－2，
a1024＝b11＝108，a1025＝2a1024＝216.
16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e＋\f(1,e)，e2＋2))
解析 画出函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lnx|，0e))的图象(如图所示)．
不妨令a