利用转化证明两直线平行例析.doc

利用转化证明两直线平行例析 传递“转化”，证明两直线平行： 例1.如图1，∠2+∠D＝1800，∠1＝∠B，求证AB∥EF。
分析：欲证AB∥EF，而从已知条件中没有出现与AB、EF相关连的特殊角的关系，找同位角、内错角、同旁内角，因此只能另辟蹊径，看看从已知条件会得出哪些有用的结论。 证明：因为∠2+∠D＝1800（已知），所以EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。 又因为∠1＝∠B，所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 所以AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） 规律总结：本例是利用平等公理来判定两直线平行，利用平行的传递性进行转化，从而判定两直线平行。 利用角平分线的条件及定义进行等角“转化”， 证明两直线平行： 例2.已知如图2，直线AB、CD被直线EF所截，MP平分∠EMB，NQ平分∠END，且∠EMP＝∠QND。求证：（1）MP∥NQ；（2）AB∥CD。
分析：由于已知角的平分线，可以利用角的平分线的条件及定义进行等角转化，创造平行的条件。 证明：（1）因为NQ平分∠END（已知），所以∠ENQ＝∠QND（角平分线的定义）。 又因为∠EMP＝∠QND（已知），所以∠EMP＝∠ENQ（等量代换）。 所以MP∥NQ（同位角相等，两直线平行）。 （2）MP平分∠EMB（已知），所以∠EMP＝
∠EMB（角平分线的定义）。 同理得∠QND＝
∠END，又因为∠EMP＝∠QND（已知）， 所以
∠END＝
∠EMB（等式的性质），即∠END＝∠EMB，所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 规律总结：这类问题给出的条件一般不能直接推证结论，必须进行代换、转化常见的转化应用的知识有：对顶角相等，邻补角相等，角平分线的性质等。 利用互余条件进行等角“转化”， 证明两直线平行： 例3.如图3，∠1与∠D互余，CF⊥DF，求证AB∥CD。
分析：由于∠1与∠D互余，利用互余条件进行等角转化，创造平等的条件。 证明：因为CF⊥DF（已知），所以∠CFD＝900（垂直的定义），所以∠C+∠D＝1800－∠CFD＝900（三角形内角和等于1800），又∠1+∠D＝900（已知）， 所以∠1＝∠C（同角的余角相等）， 所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 规律总结：本例通过同角的余角相等，进行等角转化证明两直线平行。还可以探讨其他证法，例如延长DF或利用∠1与∠BFD的互余关系。 利用三角形的内角和进行等角“转化” ，证明两直线平行： 例4.如图4，已知AB⊥BF，CD⊥BF于D，且∠GBF+∠G＝900，求证AB∥EG。
分析