利用平行四边形证明几何结论.doc

利用平行四边形证明几何结论 平行四边形是一种特殊而又比较简单的一类四边形，但它有许多的重要性质，如，对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质等等．利用平行四边形的这些性质可以证明许多的几何结论，现举例说明． 一、证明线段相等 例1　如图1，□ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的一点，且BE＝DF．求证：AE＝CF． 简析　由于ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，且AD＝BC．而BE＝DF，所以AF＝CE，又AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形，所以AE＝CF． 二、证明两线平行 例2　如图2，已知□ABCD中，点E是AB延长线上的一点，且BE＝AB．求证：EC∥BD． 简析　由四边形ABCD是平行四边形可知AB∥CD且AB＝CD，即BE∥CD，又BE＝AB，所以BE＝CD，所以四边形BECD是平行四边形．所以EC∥BD． 三、证明线段不等 例3　如图3，AD是△ABC的中线．证明：AD＜
(AB+AC)． 简析　延长AD至E，使DE＝AD，连结BE、CE．因为BD＝CD，DE＝AD，所以四边形ABEC为平行四边形，所以AB＝CE，AD＝
AE．在△ACE中，因为AE＜CE+AC，即AE＜AB+AC，所以2AD＝
AE＜
(AB+AC)，即 AD＜
(AB+AC)． 四、证明两角相等 例4　如图4，已知M、N是□ABCD的对角线上两点，且BM＝DN．求证：∠MAN＝∠MCN． 简析　连结AC交BD于点O．由于四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD，又BM＝DN，则BN＝DM，即ON＝OM，所以ANCM是平行四边形．故∠MAN＝∠MCN． 五、证明面积相等 例5　如图5，P是梯形ABCD腰DC的中点．求证：S△PAB＝
S梯形ABCD． 　　简析　过点P作MN∥AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形．所以S△PAB＝
S平行四边形ABNM．又AD∥BC，PD＝PC，所以∠PDM＝∠