图形与证明（二）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（二）.doc

第一章 图形与证明（二）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（二） 基本知识概括 知识点1 平行四边形的判定 平行四边形的判定方法可归纳为以下几种： 方法1：两组对边分别平行的四边形 → AB∥CD,AD∥BC 方法2：两组对边分别相等的四边形→ AB=CD,AD=BC 方法3：一组对边平行且相等的四边形→ AB∥CD,AB=CD 方法4：两组对角分别相等的四边形→ ∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD 方法5：对角线互相平分的四边形→ OA=OC,OB=OD 知识点 2 反证法 反证法是一种特殊的证明方法，在证明时，不是直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明的方法叫反证法。 反正法有三个步骤： 假设命题不成立 从而结论出发，经过推理论证，得出矛盾 有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题结论正确。 注意：（1）用反证法证明有关问题时，结论的反面要找得准确、全面。 （2）利用反证法证题的每一步都要有根据，直到推出矛盾。 （3）推出的矛盾又两种情况：1、与定义、定理、公理矛盾；2、与已知矛盾。 知识点3 矩形的判定 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形式矩形。2、有三个角是直角的四边形是矩形。 注意：矩形的每种判定方法都有两个条件。 定义：1、平行四边形；2、有一个角是直角 判定定理1:1、是平行四边形；2、对角线相等 判定定理2:1、是四边形；2、有三个角是直角 知识点 4 菱形的判定 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理2: 4边都相等的四边形是菱形。 知识点 5 正方形的判定 判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形 判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形 判定方法3：对角形互相垂直的矩形是正方形 判定方法4：对角形相等的菱形是正方形 判定一个四边形为正方形为正方形的主要途径有两种：1、先证矩形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；2、先证菱形，再证有一个角是直角或对角线相等。 知识点 6 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

基础知识应用题 例1 求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 例2 已知如图1-105所示，点M,N分别在平行四边形ABCD的边BC,AD上，且BM=DN,ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E，F。求证 MN与EF互相平分。
图 1 - 105 例3 已知如图1-106所示，在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分于O, ∠B=90°。求证四边形ABCD为矩形。
图1-106 例4 已知如图1-107所示，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG,FH,与平行四边形ABCD各边相交于点E,F,G,H,求证四边形EFGH是菱形。
图1-107 例5 已知如图1-108所示，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC交BC于E,DF∥BC交AC于F。求证四边形CEDF是正方形。  INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\Application Data\\Tencent\\Users\\583338352\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\P{IDT{(Q]PTJ2PIINN5N(UP.jpg" \* MERGEFORMATINET 
图1-108 综合应用题 本节知识的综合应用包括以下几个方面：（1）与三角形全等和相似的综合应用； （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质的综合应用。 例6 已知图1-109所示，E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE,DF=BE,DF∥BE. 求证ΔAFD≌ΔCEB; 求证四边形ABCD是平行四边形。  INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\Application Data\\Tencent\\Users\\583338352\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\5EANCJA0{X375LD$S0}A7QY.jpg" \* MER