从线段垂直平分线入手证明.doc

从线段垂直平分线入手证明 经过线段的中点并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，它具有如下重要的性质： 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 解答某些图形证明问题时，要注意从线段垂直平分线入手. 一、利用已知的线段垂直平分线 例1　如图1，CD垂直平分AB，AB平分∠CAD.求证：AD∥BC. 分析：要证明AD∥BC，只要证明∠B＝∠DAB. 证明：由CD垂直平分AB，得CA＝CB，∠B＝∠CAB. 因为AB平分∠CAD， 所以∠CAB＝∠DAB. 所以∠B＝∠DAB. 所以AD∥BC.
　　　　　图1　　　　　　　　　　　　图2 例2　如图2，△ABC中，BC边的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E.求证：AB＜AC. 分析：注意到AB＜AD＋BD，AC＝AD＋CD，那么要证明AB＜AC，只要证明BD＝CD. 证明：由DE是BC的垂直平分线，得BD＝CD. 因为AB＜AD＋BD, 所以AB＜AD＋CD. 所以AB＜AC. 二、利用构造的线段垂直平分线 例3　如图3，∠ACB＝90°，∠B＝60°.求证：AB＝2BC. 分析：要证明AB＝2BC，应考虑把BC延长一倍到D，再证明AB＝BD. 证明：延长BC到D，使DC＝BC，得BD＝2BC． 因为∠ACB＝90°， 所以AC⊥BD. 因为BC＝DC， 所以AC是BD的垂直平分线. 所以AB＝AD. 所以∠D＝∠B＝60°，∠BAD＝60°.