高中数学圆锥曲线知识点总结.docx

高中数学圆锥曲线知识点总结一考点限考概要椭圆轨迹定义定义一在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆两定点是焦点两定点间距离是焦距且定长大于焦距用集合表示为定义二在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫焦点定直线叫准线常数是离心率用集合表示为标准方程和性质注意当没有明确焦点在个坐标轴上时所求的标准方程应有两个参数方程为参数双曲线轨迹定义定义一在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线两定点是焦点两定点间距离是焦距用集合表示为定义二到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数那么这个点的轨迹叫做双曲线其中定点叫焦点定直线叫准线常数是离心率用集合表示为标准方程和性质注意当没有明确焦点在个坐标轴上时所求的标准方程应有两个抛物线轨迹定义在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线定点是焦点定直线是准线定点与定直线间的距离叫焦参数用集合表示为标准方程和性质焦点坐标的符号与方程符号一致与准线方程的符号相反标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致标准方程的顶点在原点对称轴是坐标轴有别于一元二次函数的图像二复习点睛平面解析几何的知识结构椭圆各参数间的关系请记熟六点六线一个三角形即六点四个顶点两个焦点六线两条准线长轴短轴焦点线和垂线三角形焦点三角形则椭圆的各性质除切线外均可在这个图中找到椭圆形状与的关系当椭圆圆直至成为极限位置的圆则认为圆是椭圆在时的特例当椭圆变扁直至成为极限位置的线段此时也可认为是椭圆在时的特例利用焦半径公式计算焦点弦长若斜率为的直线被圆锥曲线所截得的弦为两点的坐标分别为则弦长这里体现了解析几何设而不求的解题思想若过椭圆左或右焦点的焦点弦为则结合下图熟记双曲线的四点八线一个三角形即四点顶点和焦点八线实轴虚轴准线渐进线焦点弦垂线三角形焦点三角形双曲线形状与的关系越大即渐近线的斜率的绝对值就越大这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知双曲线的离心率越大它的开口就越阔双曲线的焦点到渐近线的距离为共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴虚轴为实轴这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别三常数中不同互换相同它们共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法将变为过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线共四条在两条渐近线上但非原点只有两条一条是与另一渐近线平行的直线一条是切线为原点时不存在这样的直线结合图形熟记抛物线两点两线一个直角梯形即两点顶点和焦点两线准线焦点弦梯形直角梯形对于抛物线上的点的坐标可设为以简化计算抛物线的焦点弦过焦点的弦为且则有如下结论过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点两条切线和一条平行于对称轴的直线处理椭圆双曲线抛物线的弦中点问题常用代点相减法即设为曲线上不同的两点是的中点则可得到弦中点与两点间关系当涉及到弦的中点时通常有两种处理方法一是韦达定理即把直线方程代入曲线方程消元后用韦达定理求相关参数即设而不求二是点差法即设出交点坐标然后把交点坐标代入曲线方程两式相减后再求相关参数在利用点差法时必须检验条件是否成立圆锥曲线统一定义三种圆锥曲线均可看成是这样的点集其中为定点为点到定直线的距离为常数如图当时点的轨迹是椭圆当时点的轨迹是双曲线当时点的轨迹是抛物线圆锥曲线的几何性质几何性质是圆锥曲线内在的固有的性质不因为位置的改变而改变定性焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中心为两焦点中点两准线关于中心对称椭圆及双曲线关于长轴短轴或实轴虚轴为轴对称关于中心为中心对称抛物线的对称轴是坐标轴对称中心是原点定量圆锥曲线的标准方程及解析量随坐标改变而变以焦点在轴上的方程为例曲线与方程轨迹法求曲线方程的程序建立适当的坐标系设曲线上任一点动点的坐标为列出符合条件的方程化简方程为最简形式证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上曲线的交点由方程组确定方程组有几组不同的实数解两条曲线就有几个公共点方程组没有实数解两条曲线就没有公共点