2021年高考数学尖子生培优 专题10 计数原理.doc

113年高考数学尖子生培优专题计数原理一单选题高三上大同期中在的展开式中的系数为高三上潍坊期中高一某班有名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组每个小组至多可接收该班名同学每名同学只能报一个小组则报名方案有种种种种高三上会昌月考若的展开式中各项系数之和为则展开式的常数项为高三上唐山月考特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了名特岗教师其中体育教师名数学教师名按每所学校名体育教师名数学教师进行分配则不同的分配方案有高三上松原月考在的展开式中各二项式系数之和为则展开式中常数项为高三上合肥月考周六晚上小红和爸爸妈妈弟弟一起去看电影订购的张电影票恰好在同一排且连在一起为安全起见每个孩子至少有一侧有家长陪坐则不同的坐法种数为高三上蚌埠月考的展开式中常数项为浙江模拟从集合和中各任取个元素排成一排字母和数字均不能重复则每排中字母和数字至少出现两个的不同排法种数为二多选题213高三上山东期中已知的展开式中各项系数之和为第二项的二项式系数为则展开式中存在常数项展开式中含项的系数为高三上邢台月考若则高三上溧水期中设常数对于二项式的展开式下列结论中正确的是若则各项系数随着项数增加而减小若各项系数随着项数增加而增大则若则第项的系数最大若则所有奇数项系数和为高二下连云港期末为弘扬我国古代的六艺文化某夏令营主办单位计划利用暑期开设礼乐射御书数六门体验课程每周一门连续开设六周则某学生从中选门共有种选法课程射御排在不相邻两周共有种排法课程礼书数排在相邻三周共有种排法课程乐不排在第一周课程御不排在最后一周共有种排法三填空题高三上黄浦期中若的展开式中的系数为则高三上西安期中年月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资该杋场拥有世界上最大的单一航站楼并拥有机器人自动泊车系统解决了停车满找车难的问题现有辆载有救援物资的车辆可以停放在个并排的泊车位上要求停放的车辆相邻箭头表示车头朝向则不同的泊车方案有种用数字作答313绍兴模拟已知则桂林模拟某校名学生参加军事冬令营活动活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏角色按级别从小到大共种分别为士兵排长连长营长团长旅长师长军长和司令游戏分组有两种方式可以人一组或者人一组如果人一组则必须角色相同如果人一组则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令其余角色各人现在新加入名学生将这名学生分成组进行游戏则新加入的学生可以扮演的角色的种数为四解答题高三上松原月考盒子内有个不同的黑球个不同的白球从中取出个黑球个白球排成一列且个白球两两不相邻的排法有多少种从中任取个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种高三上松原月考已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等求求展开式中的一次项的系数南通模拟已知求的值求的值高二上建瓯月考在高三一班元旦晚会上有个演唱节目个舞蹈节目当个舞蹈节目接在一起时有多少种不同的节目安排顺序当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时有多少种不同的节目安排顺序若已定好节目单后来情况有变需加上诗歌朗诵和快板个节目但不能改变原来节目的413相对顺序有多少种不同的节目演出顺序高二下武汉月考已知二项式若它的二项式系数之和为求展开式中系数最大的项若求二项式的值被除的余数高二下武汉月考江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动共有个名额分配到历史类个班级每个班至少个名额所有名额全部分完共有多少种分配方案名学生确定后分成四个小组每小组至少一人共有多少种方法名学生来到武汉火车站火车站共设有个安检入口每个入口每次只能进个旅客求人进站的不同方案种数513答案解析部分答案知识点二项式定理的应用解析解答在的展开式中通项公式为令求得的系数为故答案为分析利用二项展开式的通项公式由的指数分别为与可求得的系数答案知识点简单计数与排列组合解析解答解根据题意名同学需以形式参加三个服务小组即先把名同学分成组每组人数为人共有种再将三组分配到个服务小组共有种故答案为分析利用实际问题的已知条件结合排列数组合数解决计数问题的方法从而求出报名方案的种数答案知识点二项式系数的性质解析解答根据题意由于展开式各项系数之和为解得则展开式的常数项为故答案为分析利用二项式定理的系数的性质求出的值从而结合二项式定理求出展开式中的通项公式再利用通项公式求出展开式中的常数项答案知识点简单计数与排列组合613解析解答先把名数学教师平分为组有种方法再把名体育教师分别放入这两组有种方法最后把这两组教师分配到两所农村小学共有种方法故答案为分析先把名数学教师平分为组再把名体育教师分别放入这两组最后把这两组教师分配到两所农村小学即可计算出结果答案知识点二项式系数的性质解析解答由二项式系数的性质得则的展开式为则展开式中常数项为故答案为分析利用二项式系数的性质结合已知条件求出的值再结合二项式定理求出展开式中的通项公式再利用通项公式求出展开式中的常数项答案知识点简单计数与排列组合解析解答个人坐四个座位共有种坐法当孩子坐在一起并且坐在最边上时有一个孩子没有大人陪伴共有种所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有种坐法故答案为分析先计算出个人的全排列再减去不符合情况的种数即可答案知识点二项式定理解析解答解的的展开式的通项公式令或解得舍去的展开式中常数项713故答案为分析利用通项公式即可得出答案知识点分步乘法计数原理解析解答根据题意分步进行分析先在两个集合中选出个元素要求字母和数字至少出现两个若字母和数字都出现需要在字母中选出个字母有种选法若字母和数字出现需要在字母中选出个字母在中选出个数字有种选法若字母和数字出现需要在字母中选出个字母在中选出个数字有种选法若数字出现需要在字母中选出个字母有种选法则有种选法将选出的个元素全排列有种情况则一共有种不同排法故答案为分析根据题意分步进行分析先在两个集合中选出个元素要求字母和数字至少出现两个再将选出的个元素全排列即得解答案知识点二项式定理二项式系数的性质解析解答令得的展开式中各项系数之和为所以符合题意的展开式中第二项的二项式系数为所以符合题意的展开式的通项公式为令则所以展开式中不存在常数项不符合题意令则所以展开式中含项的系数为符合题意故答案为813分析利用二项展开式的通项公式求解列方程求解即可答案知识点二项式系数的性质解析解答由题意当时当时当时所以当时所以故答案为分析利用赋值法解决对于通过给赋值即可作出判断对于和通过给赋值和得到两个等式作差得到结果进而作出判断对于通过给赋值得到结果即可作出判断答案知识点二项式定理二项式系数的性质解析解答二项式的展开式的通项为对于当时则任意项的系数均为除常数项不符合题意对于若则最后两项为有与已知矛盾故符合题意对于若则各项系数为故第项的系数最大符合题意对于若则所有奇数项系数和为符合题意故答案为913分析求出二项展开式的通项取即可判断利用反证法可判断依次求出各项系数即可判断直接求出奇数项和即可判断答案知识点排列与组合的综合解析解答门中选门共有种不符合题意课程射御排在不相邻两周共有种排法不符合题意课程礼书数排在相邻三周共有种排法符合题意课程乐不排在第一周课程御不排在最后一周共有种排法符合题意故答案为分析根据排列组合的相邻关系和不相邻关系以及有限制排列的关系逐个分析选项即可答案知识点二项式定理解析解答求得二项式的展开式的通项为当解得此时所以解得故答案为分析由题意二项式展开式的通项为结合题意求得进而得到关于的方程即可求解答案知识点简单计数与排列组合解析解答从个车位里选择个相邻的车位共有种方式将辆载有救援物资的车辆相邻停放有种方式则不同的泊车方案有种故答案为分析可知从个车位里选择个相邻的车位共有种方式将辆载有救援物资的车辆相邻停放有种方式则可计算出不同的泊车方案答案知识点二项式系数的性质1013解析解答因为令可得所以故故答案为分析根据其特点可知为的系数把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负令即可求解答案知识点分类加法计数原理解析解答依题意名学生分成组则一定是个人组和个人组若新加入的学生是士兵则可以将这个人分组如下名士兵士兵排长连长各名营长团长旅长各名师长军长司令各名名司令所以新加入的学生可以是士兵由对称性可知也可以是司令若新加入的学生是排长则可以将这个人分组如下名士兵连长营长团长各名旅长师长军长各名名司令名排长所以新加入的学生可以是排长由对称性可知也可以是军长若新加入的学生是连长则可以将这个人分组如下名士兵士兵排长连长各名连长营长团长各名旅长师长军长各名名司令所以新加入的学生可以是连长由对称性可知也可以是师长若新加入的学生是营长则可以将这个人分组如下名士兵排长连长营长各名营长团长旅长各名师长军长司令各名名司令所以新加入的学生可以是营长由对称性可知也可以是旅长若新加入的学生是团长则可以将这个人分组如下名士兵排长连长营长各名旅长师长军长各名名司令名团长所以新加入的学生可以是团长1113综上所述新加入学生可以扮演种角色故答案为分析对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组综合可得出结论答案解首先从个白球中取出个进行排列然后个黑球插在中间三个空内则个白球两两不相邻的排法有种解从中任取个球白球的个数不比黑球个数少的取法有类个黑球和个白球个黑球和个白球个黑球和个白球则共有种取法知识点简单计数与排列组合解析分析由题意先将白球选出个进行排列再用黑球插空即可得解由题意将满足要求的情况分为三种个黑球和个白球个黑球和个白球个黑球和个白球再结合分步乘法组合的知识即可得解答案解由第项和第项的二项式系数相等可得解得解由知展开式的第项为令得此时所以展开式中的一次项的系数为知识点二项式系数的性质解析分析根据二项式系数相等列式求解先求出展开式的通项然后求解所求项的系数答案解令得令得于是解首先考虑则1213因此故知识点组合及组合数公式二项式系数的性质解析分析利用赋值法进行求解令得令得从而可求结果根据二项式系数与关系及组合数性质得到然后累加可求的值答案解第一步先将个舞蹈节目捆绑起来看成个节目与个演唱节目一起排有种方法第二步再松绑给个节目排序有种方法根据分步乘法计数原理一共有种解第一步将个演唱节目排成一列如图中的口一共有种方法第二步再将个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中的位置这样相当于个选个来排一共有种根据分步乘法计数原理一共有种解若所有节目没有顺序要求全部排列则有种排法但原来的节目已定好顺序需要消除所以节目演出的方式有种排法知识点基本计数原理的应用简单计数与排列组合解析分析相邻问题利用捆绑法不相邻问题采用插空法使用倍分法分析先求出个节目全排列的排法数目分析三个舞蹈节目本身的顺序由倍分法计算可得答案答案解二项式的二项式系数之和为由解得展开式中系数最大的项为第项为解若1313问题转化为被除的余数即余数为知识点二项式定理的应用解析分析由题意利用二项式系数的性质求得的值再根据通项公式可得展开式中第项的系数从而求得展开式中系数最大的项二项式即按照二项式定理展开问题化为被除的余数再根据按照二项式定理展开可得它被除的余数答案解由题意得问题转化为不定方程的非负整数解的个数方程又等价于不定方程的正整数解的个数利用隔板原理得方程正整数解的个数为共有多少种分配方案解将问题转化为不定方程的正整数解个数分组后再进行排列不定方程的正整数解个数为共有种方法解设名学生在个安检的人数分别为方程非负整数解的个数等价于方程的正整数解的个数人进站的不同方案种数为知识点排列与组合的综合解析分析将问题转化为不定方程的非负整数解问题再利用隔板原理进行求解将问题转化为不定方程的正整数解问题再利用隔板原理排列数公式进行求解将问题转化为不定方程方程的正整数解问题再利用隔板原理排列数公式进行求解