2021年高考数学尖子生培优 专题09 圆锥曲线.doc

121年高考数学尖子生培优专题圆锥曲线一单选题高三上辽宁月考直线与双曲线有两个交点为则高三上新余月考已知动点的坐标满足方程则动点的轨迹是椭圆双曲线抛物线圆高三上大同期中已知抛物线的焦点为准线为过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限垂足为直线交轴于点若则抛物线的方程是高三上会昌月考双曲线的渐近线与圆相切则双曲线的离心率为高三上宁波期中如图设分别是椭圆的左右焦点点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点延长与椭圆交于点若则直线的斜率为成都一诊已知平行于轴的一条直线与双曲线相交于两点为坐标原点则该双曲线的离心率为221高三上顺德月考已知抛物线与圆相交于两点点为劣弧上不同的一个动点平行于轴的直线交抛物线于点则的周长的取值范围为深圳模拟已知圆和焦点为的抛物线点是圆上一点点是抛物线上一点点在时取得最小值点在时取得最大值则二多选题高三上溧水期中在平面直角坐标系中为了使方程表示准线垂直于轴的圆锥曲线实数的取值范围可以是深圳模拟已知双曲线的一条渐近线过点点为双曲线的右焦点则下列结论正确的是双曲线的离心率为双曲线的渐近线方程为若点到双曲线的渐近线的距离为则双曲线的方程为设为坐标原点若则高三上永州月考已知为坐标原点椭圆的左右焦点分别为长轴长为焦距为点在椭圆上且满足直线与椭圆交于另一个点若点在圆上321则下列说法正确的是椭圆的焦距为三角形面积的最大值为圆在椭圆的内部过点的圆的切线斜率为高三上湘潭月考设是抛物线的焦点直线过点且与抛物线交于两点为坐标原点则下列结论正确的是若点则的最小值是的面积的最小值是三填空题高三上如东月考已知双曲线与椭圆有相同的焦点则该双曲线的渐近线方程为高三上山东期中已知分别为椭圆的左右焦点且离心率点是椭圆上位于第二象限内的一点若是腰长为的等腰三角形则的面积为奉贤模拟在平面直角坐标系内有两点点在抛物线上为抛物线的焦点若则厦门模拟双曲线的左右焦点分别为过的直线与的左右两支分别交于两点点在轴上平分则的离心率为四解答题高三上厦门期中已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点是椭圆上一点且的周长是求椭圆的方程设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点试问在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率的和为定值若存在请求出点的坐标若不存在请说明理由421高三上宁波期中已知抛物线圆抛物线的焦点到其准线的距离恰好是圆的半径求抛物线的方程及其焦点坐标过抛物线上一点除原点外作抛物线的切线交轴于点过点作圆的两条切线切点分别为若求的面积高三上如皋月考如图在平面直角坐标系中已知等轴双曲线的左顶点过右焦点且垂直于轴的直线与交于两点若的面积为求双曲线的方程若直线与双曲线的左右两支分别交于两点与双曲线的两条渐近线分别交于两点求的取值范围高三上辽宁月考已知椭圆过点顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为点求椭圆的方程已知点是椭圆上的两点若且为等边三角形求的边长若证明不可能为等边三角形高三上杭州期中如图点为椭圆的左顶点过的直线交抛物线于两点点是的中点521若点在抛物线的准线上求抛物线的标准方程若直线过点且倾斜角和直线的倾斜角互补交椭圆于两点证明点的横坐标是定值并求出该定值当的面积最大时求的值高三上黄浦期中已知倾斜角为的直线过点和点在第一象限求点的坐标若直线与双曲线相交于两点且线段的中点坐标为求的值对于平面上任一点当点在线段上运动时称的最小值为与线段的距离已知点在轴上运动写出点到线段的距离关于的函数关系式621答案解析部分答案知识点直线与圆锥曲线的综合问题解析解答由得故答案为分析直线方程与双曲线方程联立方程组直接解得焦点坐标再计算两点间的距离即可得到答案答案知识点圆锥曲线的轨迹问题解析解答设点由可得出由题意可知点到原点的距离等于点到直线的距离由抛物线的定义可知点的轨迹为抛物线故答案为分析将题干中的等式变形为利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点的轨迹的形状答案知识点抛物线的标准方程直线与圆锥曲线的关系解析解答由题意如图过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限721可知垂足为直线交轴于点准线与轴的交点为所以则三角形是正三角形因为是的中点所以是的中点所以所以则由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点所以则可得所以抛物线方程为故答案为分析画出图形利用抛物线定义可判断三角形是正三角形结合已知条件求出结合在上的射影是是中点然后求解抛物线方程答案知识点双曲线的简单性质解析解答双曲线的一条渐近线方程为圆的方程为即圆心为半径为因为双曲线的渐近线与圆相切得化简得离心率故答案为分析求出双曲线的渐近线方程圆的圆心坐标利用圆心到直线的距离等于半径求解关系式即可得到双曲线的离心率答案知识点椭圆的定义直线与圆锥曲线的关系解析解答如下图连接设则821因为所以在中所以即整理得所以所以直线的斜率为故答案为分析连接设则根据椭圆的定义可求得结合可得计算可得从而可求出由直线的斜率为可求出答案答案知识点双曲线的简单性质解析解答如图所示两点关于轴对称不妨设又在双曲线上又为等边三角形即根据两点间距离公式得故答案为分析由题意求得点坐标代入双曲线方程结合隐含条件即可求得双曲线的离心率答案知识点抛物线的定义抛物线的简单性质921解析解答画出图象如下图所示圆的圆心为半径为抛物线的焦点为准线为由解得所以设平行于轴的直线交抛物线的准线于根据抛物线的定义可知所以的周长为而所以也即周长的取值范围是故答案为分析求得两点的坐标根据抛物线的定义转换周长的表达式由此求得的周长的取值范围答案知识点圆与圆锥曲线的综合解析解答由已知得记的准线为过点作的垂线垂足为过点作的垂线垂足为则当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立此时取得最小值则点的坐标为1021当且仅当为线段的延长线与抛物线的交点且点在线段上时等号成立此时取得最大值又直线的方程为由解得或所以的坐标为所以故答案为分析利用已知条件结合圆与抛物线的位置关系再利用抛物线的定义和性质结合直线与抛物线方程联立求交点的方法从而求出两点和的坐标再利用两点距离公式从而求出两点和的距离答案知识点双曲线的简单性质解析解答显然方程可化为当时表示焦点在轴上的双曲线满足准线垂直于轴当时则由题应满足解得综上或故答案为分析将方程化为讨论和的情况即可求出答案知识点双曲线的标准方程双曲线的简单性质解析解答由题可知双曲线的一条渐近线过点所以渐近线方程为所以选项错误所以离心率所以选项正确1121若焦点到双曲线的渐近线的距离为即则双曲线的标准方程为所以选项正确是坐标原点若则所以所以选项错误故选分析利用双曲线标准方程求出一条渐近线方程再利用渐近线过点结合代入法求出渐近线方程从而得出的关系式再利用双曲线中三者的关系式求出的关系式再利用离心率公式变形求出双曲线的离心率再利用焦点到双曲线的渐近线的距离为从而求出的值从而求出双曲线的标准方程再利用已知条件结合两点距离公式求出点和焦点的坐标再利用三角形面积公式求出三角形的面积从而选出结论正确的选项答案知识点椭圆的定义椭圆的简单性质解析解答设则又所以符合题意圆圆在椭圆内部所以点在椭圆内部所以符合题意当点在轴上是三角形面积的最大此时所以符合题意设过点的圆的切线斜率为则切线方程为所以不符合题意故答案为分析利用求得利用已知条件及椭圆定义求出椭圆方程再对选项进行验证得解答案1221知识点抛物线的定义直线与圆锥曲线的综合问题解析解答解不妨设在第一象限若直线无斜率则则显然不符合题意若直线存在斜率设直线斜率为则直线的方程为显然联立方程组消元得设则原点到直线的距离综上符合题意符合题意过点向准线作垂线垂足为则又在抛物线右侧故当三点共线时取得最小值符合题意故答案为分析讨论直线是否有斜率分别计算和的面积或其范围判断举特例判断不符合题意根据抛物线性质和三点共线判断1321答案知识点椭圆的简单性质双曲线的简单性质解析解答由题椭圆的焦点在轴上焦距为即因为双曲线为即则所以所以双曲线为所以渐近线为故答案为分析由椭圆方程可得先将双曲线整理为标准方程形式即再由相同的焦点可得即可求得进而求得渐近线方程答案知识点椭圆的定义椭圆的简单性质解析解答解由题意知则又由椭圆的定义得又是腰长为的等腰三角形且点在第二象限过作于点则的面积为故答案为分析由题意可计算出由是腰长为的等腰三角形且点在第二象限可得的值过作于点可得的值可得的面积答案知识点抛物线的简单性质直线与圆锥曲线的综合问题解析解答解因为点在抛物线上所以得因为抛物线的焦点为准线为所以因为所以1421因为所以所以所以或化简得或解得或或因为所以故答案为分析由点在抛物线上所以将点坐标代入抛物线方程中可得到与的关系由可得点的坐标为准线方程为所以而由列方程可求出的值答案知识点圆锥曲线的综合解析解答由平分得故又由得不妨设根据双曲线定义得故是等边三角形在中由余弦定理可得解得故答案为分析先由题意得到不妨设根据双曲线的定义得到求得得到是等边三角形求出再由余弦定理求解即可得出结果答案解由椭圆的定义知的周长为所以1521又因为椭圆的离心率所以联立解得所以所求椭圆方程为解若存在满足条件的点当直线的斜率存在时设联立消得设则要使对任意实数为定值则只有此时当直线与轴垂直时若也有故在轴上存在点使得直线与直线的斜率的和为定值知识点直线与圆锥曲线的综合问题解析分析由椭圆的定义知的周长为结合离心率可求出椭圆的方程当直线的斜率存在时设与椭圆方程联立表示出直线与直线的斜率的和代入韦达定理计算可得定值进而求出点的坐标当直线与轴垂直时也成立答案解因为抛物线的焦点到其准线的距离恰好是圆的半径所以故抛物线的方程为焦点坐标为解设点则切线的方程可设为联立方程可得由可得1621且切点坐标为设点则切线切线将点的坐标代入可得直线故由可得因为两种情况中的点关于轴对称所以求出的面积相同下只求情况联立方程可得故从而有所以知识点抛物线的定义直线与圆锥曲线的综合问题解析分析根据抛物线的焦点到其准线的距离恰好是圆的半径求解设点切线的方程设为与抛物线方程联立根据与抛物线相切由得到切点的坐标再由过点作圆的两条切线切点分别为得到直线然后由解得即可答案解因为双曲线为等轴双曲线所以设双曲线的焦距为故即因为过右焦点且垂直于轴将代入可得故将的面积为所以即所以故双曲线的方程为解依题意直线与双曲线的左右两支分别交于两点1721联立方程组消去可得所以解得且所以联立方程组得同理所以所以其中所以知识点双曲线的简单性质直线与圆锥曲线的综合问题解析分析依题意可得所以得到根据的面积计算可得联立直线方程与曲线方程消元列出韦达定理依题意得到从而求出参数的取值范围利用弦长公式表示出即可得到的取值范围答案解依题意联立两式解得故椭圆的方程为解由且为等边三角形及椭圆的对称性可知直线和直线与轴的夹角均为1821由可得的边长为即或因为故直线斜率存在设直线中点为联立消去得由得到所以所以又若为等边三角形则有即即化简得由得点坐标为不合题意故不可能为等边三角形知识点直线与圆锥曲线的综合问题解析分析由椭圆面积得再把点的坐标代入可求得得椭圆方程由对称性得出直线和直线的方程求出的横坐标即可得边长因为故直线斜率存在设直线中点为直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理得中点的坐标再由求出关系代入得出坐标在椭圆外不合题意即可得证不可能为等边三角形答案解由题意得点在抛物线的准线上则即所以抛物线的标准方程为证明因为过的直线和抛物线交于两点1921所以的斜率存在且不为设的方程为其中是斜率的倒数设联立方程组整理得且因为是的中点所以所以所以点的横坐标为定值因为直线的倾斜角和直线的倾斜角互补所以的斜率和的斜率互为相反数设直线的方程为即联立方程组整理得所以因为点是中点所以因为到的距离所以令则当且仅当时等号成立所以2021知识点直线与圆锥曲线的综合问题解析分析根据点在抛物线的准线上可得进而可得抛物线的标准方程设的方程为设与椭圆联立利用点是的中点得到计算可得点的横坐标为定值设直线的方程为与椭圆方程联立利用点是的中点可得根据三角形的面积公式以及基本不等式可求的面积最大值由取等号的条件解得的值答案解直线方程为设点由及得点的坐标为解由得设则得解解法一设线段上任意一点坐标为记当时即时当即时在上单调递减当即时在上单调递增综上所述解法二过两点分别作线段的垂线交轴于2121当点在线段上即时由点到直线的距离公式得当点在点的左边时当点在点的右边时综上所述知识点直线与圆锥曲线的综合问题解析分析由题意可得直线方程为由列方程组可求出点的坐标设直线方程与双曲线方程联立方程组消去后再利用根与系数的关系结合中点坐标公式可求出的值设线段上任意一点坐标为则构造函数然后分讨论可求得结果或过两点分别作线段的垂线交轴于然后分点在线段上点在点的左边点在点的右边三种情况利用距离公式求解