2023届高考一轮复习 圆锥曲线中的证明、定值及定点问题 学案.doc

　圆锥曲线中的证明、定值及定点问题 提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法 考点一　证明问题　[综合性] [例1]　已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0，1)，B(0，－1)，焦距为23. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线y＝m与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－14，证明：点D在x轴上． 听课笔记： 反思感悟　圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题． 【对点训练】 [2022·郑州市质量预测]已知椭圆E：y2a2+x2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点C(1，0)． (1)求椭圆E的方程； (2)若过点−13，0的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|＝2|CM|. 考点二　定值问题　[综合性] [例2]　[2022·河南高三月考]已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1a>b>0的左焦点为F，离心率为22，过F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知点A(2，0)，过P(2，－4)的直线l交椭圆C于M，N两点，证明：直线AM的斜率与直线AN的斜率之和为定值． 听课笔记： 反思感悟　圆锥曲线中定值问题的两大解法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)引进变量法：其解题流程为
【对点训练】 [2022·湖北襄阳五中高三月考]已知双曲线C：x24−y25＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点(点P在x轴上方)． (1)若PF＝3FQ，求直线l的方程； (2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值． 考点三　定点问题　[综合性] [例3]　[2022·贵州贵阳一中高三月考]已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，且过椭圆的右焦点F有且仅有一条直线与圆C2：x2＋y2＝2相切． (1)求椭圆C1的标准方程； (2)设圆C2与y轴的正半轴交于点P.已知直线l斜率存在且不为0，与椭圆C1交于A，B两点，满足∠BPO＝∠APO(O为坐标原点)，证明：直线l过定点． 听课笔记： 反思感悟　求解定点问题常用的方法 (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明． (2)“ 一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标． (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明. 【对点训练】 在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＝32的距离之比为233.记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2.l1交曲线C于A，B两点，l2交曲线C于S，T两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N.证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 第2课时　圆锥曲线中的证明、定值及定点问题 提升关键能力 考点一 例1　解析：(1)由题意，得b＝1，c＝3， 所以a2＝b2＋c2＝4，即a＝2. 故椭圆C的方程为x24＋y2＝1. (2)证明：设M(x1，m)，则N(－x1，m)，x1≠0，－10， 则y1＋y2＝12t9+18t2，y1y2＝－169+18t2. 又CA＝(x1－1，y1)，CB＝(x2－1，y2)， 所以CA·CB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝ty1−43ty2−43＋y1y2 ＝(1＋t2)y1y2－43t(y1＋y2)＋169 ＝(1＋t2)·−169+18t2−4t3·12t9+18t2+169＝0，所以CA⊥CB. 因为线段AB的中点为M，所以|AB|＝2|CM|. 综上，恒有|AB|＝2|CM|. 考点二 例2　解析：(1)设椭圆的半焦距为c，则ca=22，2b2a=2，a2=b2+c2， 解得a=2，b=2，所以椭圆C的方程为x24+y22＝1. 解析：(2)由题意知直线l斜率存在，设其方程为y＝kx＋m(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程组y=kx+m，x24+y22=1，代入消元并整理得：(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， Δ＝(4km)2－4×(2k2＋1)(2m2－4)＝32k2－8m2＋16>0， 则x1＋x2＝－4km2k2+1，x1x2＝2m2−42k2+1. kAM＋kAN＝y1x1−2+y2x2−2， 将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入，整理得： kAM＋kAN＝kx1+mx2−2+kx2+mx1−2x1−2x2−2，＝2kx1x2+m−2kx1+x2−4mx1x2−2x1+x2+4， 将韦达定理代入化简得：kAM＋kAN＝−42k+m22k+m2. 因为直线l过点P(2，－4)，所以2k＋m＝－4， 代入kAM＋kAN＝−42k+m22k+m2，得kAM＋kAN＝12. 对点训练 解析：(1)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由PF＝3FQ，F(3，0)可得：(3－x1，－y1)＝3(x2－3，y2)，即x1=12−3x2y1=−3y2， 将P(12－3x2，－3y2)，Q(x2，y2)代入双曲线C方程得 12−3𝑥224−−3𝑦225=1𝑥22 4－𝑦22 5＝1， 消去y2，解得：x2＝229， 又点P在x轴上方，∴点Q在x轴下方，∴y2＝－1029， ∴Q229，−1029，∴kFQ＝22， ∴直线l的方程为22x－y－62＝0. (2)证明：∵过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，F(3，0)， ∴可设直线l的方程为x＝my＋3，P(my1＋3，y1)，Q(my2＋3，y2)， 联立方程x=my+3x24−y25=1，消去x整理得：(5m2－4)y2＋30my＋25＝0， 则5m2−4≠0Δ=900m2−4×25×5m2−4>0，解得：m≠±255， ∴y1＋y2＝－30m5m2−4，y1y2＝255m2−4， 又A(－2，0)，B(2，0)，∴kAP＝k1＝y1my1+5，kBQ＝k2＝y2my2+1， ∴k1k2＝y1my2+1y2my1+5＝my1y2+y1my1y2+5y2，又my1y2＝25m5m2−4＝－56(y1＋y2)， ∴k1k2＝−56y1+y2+y1−56y1+y2+5y2＝－15，即k1k2为定值－