2012高考数学课本知识点整理归纳13 排列组合与概率.doc

高考数学课本知识点整理归纳排列组合与概率第十三章排列组合与概率一基础知识加法原理做一件事有类办法在第类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事一共有种不同的方法乘法原理做一件事完成它需要分个步骤第步有种不同的方法第步有种不同的方法第步有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法排列与排列数从个不同元素中任取个元素按照一定顺序排成一列叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列从个不同元素中取出个元素的所有排列个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数用21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站表示21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站其中注一般地21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站个不同元素的圆周排列数为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站组合与组合数一般地从个不同元素中任取个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合即从个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数用21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站表示21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站组合数的基本性质21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站定理不定方程的正整数解的个数为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站证明将个相同的小球装入个不同的盒子的装法构成的集合为不定方程的正整数解构成的集合为的每个装法对应的唯一一个解因而构成映射不同的装法对应的解也不同因此为单射反之中每一个解将作为第个盒子中球的个数便得到的一个装法因此为满射所以是一一映射将个小球从左到右排成一列每种装法相当于从个空格中选个将球分份共有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种故定理得证推论不定方程的非负整数解的个数为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站推论从个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做个不同元素的可重组合其组合数为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站二项式定理若则21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站其中第项21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站叫二项式系数随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件在大量重复进行同一试验时事件发生的频率21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站总是接近于某个常数在它附近摆动这个常数叫做事件发生的概率记作等可能事件的概率如果一次试验中共有种等可能出现的结果其中事件包含的结果有种那么事件的概率为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站互斥事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件也叫不相容事件如果事件彼此互斥那么中至少有一个发生的概率为对立事件事件为互斥事件且必有一个发生则叫对立事件记的对立事件为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站由定义知21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站相互独立事件事件或是否发生对事件或发生的概率没有影响这样的两个事件叫做相互独立事件相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积即若事件相互独立那么这个事件同时发生的概率为独立重复试验若次重复试验中每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果则称这次试验是独立的独立重复试验的概率如果在一次试验中某事件发生的概率为那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站离散型随机为量的分布列如果随机试验的结果可以用一个变量来表示那么这样的变量叫随机变量例如一次射击命中的环数就是一个随机变量可以取的值有如果随机变量的可能取值可以一一列出这样的随机变量叫离散型随机变量一般地设离散型随机变量可能取的值为取每一个值的概率则称表为随机变量的概率分布简称的分布列称为的数学期望或平均值均值简称期望称为的均方差简称方差21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站叫随机变量的标准差二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站的分布列为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站此时称服从二项分布记作若则以上几何分布在独立重复试验中某事件第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量若在一次试验中该事件发生的概率为则的分布服从几何分布21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站二方法与例题乘法原理例有个人参加收发电报培训每两个人结为一对互发互收有多少种不同的结对方式解将整个结对过程分步第一步考虑其中任意一个人的配对者有种选则这一对结好后再从余下的人中任意确定一个第二步考虑他的配对者有种选择这样一直进行下去经步恰好结对由乘法原理不同的结对方式有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站加法原理例图所示中没有电流通过电流表其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种解断路共分类一个电阻断路有种可能只能是有个电阻断路有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种可能个电阻断路有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种有个电阻断路有种从而一共有种可能插空法例个节目中有个演唱个舞蹈要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱有多少种不同的安排节目演出顺序的方式解先将个演唱节目任意排成一列有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种排法再从演唱节目之间和前后一共个位置中选出个安排舞蹈有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种方法故共有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种方式映射法例如果从中按从小到大的顺序取出使同时满足那么所有符合要求的不同取法有多少种解设21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站若21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站令21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站则这样就建立了从21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站到的映射它显然是单射其次若令21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站则21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站从而此映射也是满射因此是一一映射所以21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以不同取法有种贡献法例已知集合求的所有非空子集的元素个数之和解设所求的和为因为的每个元素含的的子集有个所以对的贡献为又所以另解的元子集共有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站个因此的子集的元素个数之和为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站容斥原理例由数字组成位数且在位数中每一个至少出现次问这样的位数有多少个解用表示由组成的位数集合则用分别表示不含不含不含的由组成的位数的集合则21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以由容斥原理21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以满足条件的位数有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站个递推方法例用三个数字来构造位数但不允许有两个紧挨着的出现在位数中问能构造出多少个这样的位数解设能构造个符合要求的位数则由乘法原理知当时如果位数的第一个数字是或那么这样的位数有如果位数的第一个数字是那么第二位只能是或这样的位数有所以这里数列的特征方程为它的两根为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站故21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站由得21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站算两次例证明21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站证明从位太太与位先生中选出位的方法有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种另一方面从这人中选出位太太与位先生的方法有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种所以从这人中选出位的方法有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站种综合两个方面即得式母函数例一副三色牌共有张红黄蓝各张编号为另有大小王各一张编号均为从这副牌中任取若干张牌按如下规则计算分值每张编号为的牌计为分若它们的分值之和为则称这些牌为一个好牌组求好牌组的个数解对于用表示分值之和为的牌组的数目则等于函数21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站的展开式中的系数约定由于21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站而所以等于21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站的展开式中的系数又由于21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以在展开式中的系数为从而所求的好牌组的个数为组合数21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站的性质例证明21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站是奇数证明21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站令21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站为奇数则21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站它的分子分母均为奇数因21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站是整数所以它只能是若干奇数的积即为奇数例对证明21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站证明当时21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站假设时有21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站当时因为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站又21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以结论对一切成立二项式定理的应用例若求证21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站证明首先21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站其次因为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站得证例证明21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站证明首先对于每个确定的等式左边的每一项都是两个组合数的乘积其中21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站是的展开式中的系数21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站是的展开式中的系数从而21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站就是的展开式中的系数于是21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站就是21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站展开式中的系数另一方面21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站上式中项的系数恰为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站概率问题的解法例如果某批产品中有件次品和件正品采用有放回的抽样方式从中抽取件产品问恰好有件是次品的概率是多少解把件产品进行编号有放回抽次把可能的重复排列作为基本事件总数为即所有的可能结果设事件表示取出的件产品中恰好有件是次品则事件所包含的基本事件总数为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站故所求的概率为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站例将一枚硬币掷次正面朝上恰好一次的概率不为而且与正面朝上恰好两次的概率相同求恰好三次正面朝上的概率解设每次抛硬币正面朝上的概率为则掷次恰好有次正面朝上的概率为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站由题设21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站且化简得21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以恰好有次正面朝上的概率为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站例甲乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛已知每一局甲胜的概率为乙胜的概率为比赛时可以用三局二胜或五局三胜制问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性大解如果采用三局两胜制则甲在下列两种情况下获胜甲净胜二局前二局甲一胜一负第三局甲胜21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站因为与互斥所以甲胜概率为如果采用五局三胜制则甲在下列三种情况下获胜甲净胜局前局甲胜负第四局甲胜前四局各胜局第五局甲胜因为互斥所以甲胜概率为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站由可知在五局三胜制下甲获胜的可能性大例有两个口袋袋中有张卡片其中张写有张写有张写有袋中有张卡片其中张写有张写有张写有从袋中取出张卡片袋中取张卡片共张卡片求取出张卡片都写的概率取出的张卡片数字之积是的概率取出的张卡片数字之积的数学期望解21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站记为取出的张卡片的数字之积则的分布为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站所以21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站三基础训练题三边长均为整数且最大边长为的三角形有个在正边形中当所有边均不平行的对角线的条数为用这九个数字可组成个数字不重复且和不相邻的七位数个人参加乒乓球赛分五组每组两个人有种分组方法以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是今天是星期二再过天是星期由21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站展开式所得的的多项式中系数为有理数的共有项如果凸边形的任意三条对角线不共点那么这些对角线在凸边形内共有个交点袋中有个黑球与个白球随机地每次从中取出一球不放回第次取到黑球的概率为一个箱子里有张卡片分别标号为从中任取张其中至少有一个为奇数的概率是某人拿着把钥匙去开门有把能打开他逐个试试三次之内打开房门的概率是马路上有编号为的十盏路灯要将其中三盏关掉但不能同时关掉相邻的两盏或三盏也不能关掉两端的路灯则满足条件的关灯方法种数是五个人安排在一个圆桌周围就坐若不相邻有种安排方式已知是正整数且证明21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站一项过关游戏规定在第关要抛掷一颗骰子次如果这次抛掷所得到的点数之和大于则算过关问某人在这项游戏中最多能过几关他连过前三关的概率是多少注骰子是一个在各面上分别有点数的均匀正方体四高考水平训练题若且是其各位数字和的倍数则这种有个从中任取个不同元素作为二次函数的系数能组成过原点且顶点在第一或第三象限的抛物线有条四面体的顶点和各棱的中点共个点在其中任取个不共面的点有种取法三个人传球从甲开始发球每次接球后将球传给另外两人中的任意一个经次传球后球仍回到甲手中的传法有种一条铁路原有个车站含起点终点新增加个车站客运车票相应地增加了种原有车站有个将二项式21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站的展开式按降幂排列若前三项系数成等差数列则该展开式中的幂指数是整数的项有个从到这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数共可得到种不同的对数值二项式的展开式中系数最大的项为第项系数最小的项为第项有一批规格相同的均匀圆棒每根被划分成长度相同的节每节用红黄蓝三色之一涂色可以有种颜色不同的圆棒颠倒后相同的算同一种在中随机选取个数能构成递增等差数列的概率是投掷一次骰子出现点数的概率均为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站连续掷次出现的点数之和为的概率为某列火车有节旅客车厢进站后站台上有名旅客候车每位旅客随意选择车厢上车则每节车厢都有旅客上车的概率是某地现有耕地公顷规划年后粮食单产比现在增加人均粮食占有量比现在提高如果人口年增长率为那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷精确到公顷粮食单产21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站五联赛一试水平训练题若有个有序的四元数组满足且已知直线中的是取自集合中的个不同的元素并且该直线倾斜角为锐角这样的直线条数是已知映射满足若则若则这样的映射的个数为的排列具有性质对于不构成的某个排列这种排列的个数是骰子的六个面标有这六个数字相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差变差的总和叫全变差则全变差的最大值为最小值为某次乒乓球单打比赛中原计划每两名选手恰比赛一场但有名选手各比赛场之后就退出了这样全部比赛只进行场上述三名选手之间比赛场数为如果都属于且且是中的最小值则不同的四位数21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站的个数为如果自然数各位数字之和等于那么称为吉祥数将所有的吉祥数从小到大排成一列若则求值21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站投掷一次骰子出现点数的概率均为21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站连续掷次出现的点数之和是的概率为将编号为这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上每个等分点上各有一个小球设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为求达到最小值的放法的概率注如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合则认为是相同的放法甲乙两人轮流向同一目标射击第一次甲射击以后轮流射击甲每次击中的概率为乙每次击中的概率为求甲乙首先击中的概率各是多少设求证21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站六联赛二试水平训练题张卡片上分别写有数字到一位魔术师把这张卡片放入颜色分别是红色白色蓝色的三个盒子里每个盒子里至少放入一张卡片一位观众从三个盒子中挑出两个并从中各选取一张卡片然后宣布这两张卡片上的两个数的和数魔术师知道这个和数之后便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子问共有多少种放卡片的方法使得这个魔术师总能够成功如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子两种方法被认为是不同的设是的个子集合满足21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站求的最大值求从集合中任取满足下列条件的个数的组合数其中为固定的正整数存在使得21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站设21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站其中都是正整数且求证组合数21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站中奇数的个数等于21世纪教育网45中国最大型最专业的中小学教育资源门户网站个不同的数随机排成图所示的三角形阵设是从上往下第行中的最大数求的概率证明