七年级数学多种方法证明勾股定理.docx

多种方法证明勾股定理 【证法1】（课本上的证明方法）             做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。即 ，整理得
。 【证法2】（中国古代数学家邹元治的证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。 ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF。 ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。 ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。 ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2。 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA。 ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。 ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于
. ∴ 。 ∴
。 【证法3】（三国时期赵爽的证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB。 ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。 ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º。 ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于
。 ∴ 。 ∴
. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。 ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC。 ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º。 ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。 ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 。 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC。 ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 。 ∴ 。 ∴
。 【证法5】（今安徽省宣城市宣州区清代数学家梅文鼎的证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过C作AC的延长线交DF于点P。 ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º。 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º。 ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD。 ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º。 即 ∠CBD= 90º。 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a。 ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴
。 【证法6】（今杭州清代数学家项明达的证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。 过点Q作QP∥BC，交AC于点P。 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N。 ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC，