《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解抛物线

抛_物_线
[知识能否忆起] 1．抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) 图形

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 对称轴 x轴 顶点坐标 原点O(0,0) 焦点坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) 准线方程 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) 离心率 e＝1 标准方程 x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形

范围 y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 y轴 顶点坐标 原点O(0,0) 焦点坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线方程 y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 离心率 e＝1 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝－12y　　　　　　　 B．x2＝12y C．y2＝－12x D．y2＝12x 解析：选A　∵eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y. 2．(教材习题改编)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是(　　) A.eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8) C．8 D．－8 解析：选B　抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,a)y. 则a＜0且2＝－eq \f(1,4a)，得a＝－eq \f(1,8). 3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．4 B．6 C．10 D．16 解析：选D　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，直线l：y＝eq \r(3)x＋1，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋1，,x2＝4y，))消去x得y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16. 4．(2012·郑州模拟)已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________． 解析：依题意得，|OF|＝eq \f(a,4)，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝eq \f(a,2)，△AOF的面积等于eq \f(1,2)·|AO|·|OF|＝eq \f(a2,16)＝4，则a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x. 答案：y2＝8x 5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________． 解析：其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP＝4，由定义知|PF|＝xP＋eq \f(p,2)＝6. 答案：6 1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，eq \f(p,2)等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助． 2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用． 3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可． INCLUDEPICTURE"高频考点要通关.tif"
 INCLUDEPICTURE"考点一.tif"
 抛物线的定义及应用 INCLUDEPICTURE"1.TIF"
典题导入 [例1]　(1)(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A.eq \f(3,4)　　　　　　　　　　　 B．1 C.eq \f(5,4) D.eq \f(7,4) (2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) [自主解答]　(1)如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝eq \f(3,2)，所以中点C的横坐标为eq \f(3,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4). (2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)． [答案]　(1)C　(2)B INCLUDEPICTURE"2.TIF"
由题悟法 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解． INCLUDEPICTURE"3.TIF"
以题试法 1．(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________. 解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2. 将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2eq \r(2)， ∴A(2,2eq \r(2))，∴直线AF的方程为y＝2eq \r(2)(x－1)． 又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2).)) 由图知，点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))， ∴|BF|＝eq \f(1,2)－(－1)＝eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) INCLUDEPICTURE"考点二.tif"
 抛物线的标准方程及几何性质 INCLUDEPICTURE"1.TIF"
典题导入 [例2]　(1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) A．x2＝eq \f(8\r(3),3)y　　　　　　 B．x2＝eq \f(16\r(3),3)y C．x2＝8y D．x2＝16y (2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　) A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．4 D．2eq \r(5) [自主解答]　(1)∵双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝2，∴b＝eq \r(3)a， ∴双曲线的渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到双曲线的渐近线的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)×0±\f(p,2))),2)＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y. (2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋eq \f(p,2)＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2eq \r(2))，|OM|＝eq \r(22＋8)＝2eq \r(3). [答案]　(1)D　(2)B INCLUDEPICTURE"2.TIF"
由题悟法 1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用． INCLUDEPICTURE"3.TIF"
以题试法 2．(2012·南京模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝eq \f(\r(3),2)|MN|，则∠NMF＝________.(　　) 解析：过N作准线的垂线，垂足为H，则|NF|＝|NH|＝eq \f(\r(3),2)|MN|，如图．∴cos ∠MNH＝eq \f(\r(3),2)， ∴∠MNH＝eq \f(π,6)，∴∠NMF＝eq \f(π,6). 答案：eq \f(π,6) INCLUDEPICTURE"考点三.tif"
 直线与抛物线的位置关系 INCLUDEPICTURE"1.TIF"
典题导入 [例3]　(2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8eq \r(3)，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上． (1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点． [自主解答]　(1)依题意，|OB|＝8eq \r(3)，∠BOy＝30°. 设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4eq \r(3)，y＝|OB|cos 30°＝12. 因为点B(4eq \r(3)，12)在x2＝2py上，所以(4eq \r(3))2＝2p×12，解得p＝2. 故抛物线E的方程为x2＝4y. (2)证明：由(1)知y＝eq \f(1,4)x2，y′＝eq \f(1,2)x. 设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝eq \f(1,4)xeq \o\al(2,0)，且l的方程为 y－y0＝eq \f(1,2)x0(x－x0)，即y＝eq \f(1,2)x0x－eq \f(1,4)xeq \o\al(2,0). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x0x－\f(1,4)x\o\al(2,0)，,y＝－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x\o\al(2,0)－4,2x0)，,y＝－1.)) 所以Q为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0)－4,2x0)，－1)). 设M(0，y1)，令 EMBED Equation.DSMT4 
· EMBED Equation.DSMT4 
＝0对满足y0＝eq \f(1,4)xeq \o\al(2,0)(x0≠0)的x0，y0恒成立． 由于 EMBED Equation.DSMT4 
＝(x0，y0－y1)， EMBED Equation.DSMT4 
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0)－4,2x0)，－1－y1))， 由 EMBED Equation.DSMT4 
· EMBED Equation.DSMT4 
＝0，得eq \f(x\o\al(2,0)－4,2)－y0－y0y1＋y1＋yeq \o\al(2,1)＝0， 即(yeq \o\al(2,1)＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*) 由于(*)式对满足y0＝eq \f(1,4)xeq \o\al(2,0)(x0≠0)的y0恒成立， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－y1＝0，,y\o\al(2,1)＋y1－2＝0，))解得y1＝1. 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)． INCLUDEPICTURE"2.TIF"
由题悟法 1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行． 2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) (1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4). (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)． (3)S△AOB＝eq \f(p2,2sinθ)(θ为AB的倾斜角)． (4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p). (5)以AB为直径的圆与准线相切． (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)∠CFD＝90°. INCLUDEPICTURE"3.TIF"
以题试法 3．(2012·泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F. (1)若点O到直线l的距离为eq \f(1,2)，求直线l的方程； (2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明． 解：(1)抛物线的焦点F(1,0)， 当直线l的斜率不存在时，即x＝1不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 所以，eq \f(|－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2)，解得k＝±eq \f(\r(3),3). 故直线l的方程为：y＝±eq \f(\r(3),3)(x－1)，即x±eq \r(3)y－1＝0. (2)直线AB与抛物线相切，证明如下： 设A(x0，y0)，则yeq \o\al(2,0)＝4x0. 因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)． 所以直线AB的方程为：y＝eq \f(y0,2x0)(x＋x0)， 整理得：x＝eq \f(2x0y,y0)－x0① 把方程①代入y2＝4x得：y0y2－8x0y＋4x0y0＝0， Δ＝64xeq \o\al(2,0)－16x0yeq \o\al(2,0)＝64xeq \o\al(2,0)－64xeq \o\al(2,0)＝0， 所以直线AB与抛物线相切． INCLUDEPICTURE"解题训练要高效.tif"
 INCLUDEPICTURE"A级.TIF"
 1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为(　　) A．x2＝－4eq \r(5)y　　　　　　 B．y2＝－4eq \r(5)x C．x2＝－4eq \r(13)y D．y2＝－4eq \r(13)x 解析：选A　由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(5).∴抛物线焦点坐标为(0，－eq \r(5))，∴抛物线方程为x2＝－4eq \r(5)y. 2．(2012·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为(　　) A．2 B．18 C．2或18 D．4或16 解析：选C　设P(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)＝10，,|y0|＝6，,y\o\al(2,0)＝2px0，)) ∴36＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(p,2)))，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18. 3．(2013·大同模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　) A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4) 解析：选A　注意到抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－eq \f(p,2)，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋3))＝4.又p＞0，因此有eq \f(p,2)＋3＝4，解得p＝2. 4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是(　　) A.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,2) 解析：选B　由焦点弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)得eq \f(6,sin2θ)＝12， 所以sin θ＝eq \f(\r(2),2)，所以θ＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4). 5．(2012·唐山模拟)抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0 解析：选C　∵点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0) 设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有yeq \o\al(2,1)＝4x1，① yeq \o\al(2,2)＝4x2，② 由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2) 得kBC＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2). 又∵eq \f(y1＋y2＋2,3)＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2. 又∵eq \f(x1＋x2＋1,3)＝1，∴x1＋x2＝2， ∴BC中点为(1，－1)， 则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0. 6．(2013·湖北模拟)已知直线y＝k(x－m)与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D.若动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，则m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　设点D(a，b)，则由OD⊥AB于D，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－\f(1,k)，,b＝ka－m，))则b＝－eq \f(km,1＋k2)，a＝－bk；又动点D的坐标满足方程x2＋y2－4x＝0，即a2＋b2－4a＝0，将a＝－bk代入上式，得b2k2＋b2＋4bk＝0，即bk2＋b＋4k＝0，－eq \f(k3m,1＋k2)－eq \f(km,1＋k2)＋4k＝0，又k≠0，则(1＋k2)(4－m)＝0，因此m＝4. 7．(2012·乌鲁木齐模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足 EMBED Equation.DSMT4 
,＝ EMBED Equation.DSMT4 
,＋ EMBED Equation.DSMT4 
, (O为坐标原点)，则△BOF的面积是________． 解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，∴B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)， S△BOF＝eq \f(1,2)·|OF|·|yB|＝eq \f(1,2)×1×2＝1. 答案：1 8．(2012·渭南模拟)已知抛物线C：y＝eq \f(1,4)x2，则过抛物线焦点F且斜率为eq \f(1,2)的直线l被抛物线截得的线段长为________． 解析：由题意得l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋1，即x＝2(y－1)．代入抛物线方程得y＝(y－1)2，即y2－3y＋1＝0.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1＋y2＋p＝5. 答案：5 9．(2012·广州模拟)已知直线y＝k(x－2)(k＞0)与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为________． 解析：直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－2))可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，则yA＋yB＝－2yB＋yB＝eq \f(8,k)，所以yB＝－eq \f(8,k)，yA·yB＝－16，所以－2yeq \o\al(2,B)＝－16，即yB＝±2eq \r(2)，又k＞0，故k＝2eq \r(2). 答案：2eq \r(2) 10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1