高等数学竞赛试题3

高等数学竞赛试题 姓名: 班级: 一．设函数
由方程
确定，试求
（10分） 二． 若
，试确定常数
的值。（10分） 三．
（10分） 四．设
一阶连续可导，且
=0，求证：至少存在一个
，使
．（10分） 五．设
利用导数证明：
（15分） 六．设
，且
，当
时，有
，试求
。（15分） 七．假设曲线
：
（0
）、
轴和
所围成的平面区域被曲线
：
分为面积相等的的两部分，其中
是大于零的常数，试确定
的值。（15分）
八．已知函数
在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，且

，证明： 存在
，使得
；(7分) 存在两个不同的点
，
，使得
(8分) 解答提示: 一. x=0,时y=1 两边对x求导,再将x=0,y=1代入即可. 二.
,且


，故必有：
.再用洛必达法则推出a=1,c=1/2 三.作变换
即可 四.构造辅助函数
,在区间[0 ，1]应用罗尔中值定理. 五. 构造辅助函数
,证明其在(0,+ ∞)内只有一个极小值点,
故对一切
都有：

=
＞0 六.