《三角形的有关证明》要点回顾和考点透视.doc

第十章 三角形的有关证明 要点回顾与考点透视 一、知识框架 二、重点讲解 本章的重要知识点有： 1.一般三角形全等公理的回顾与运用，有关定理的探索和证明，其定理包括等腰三角形、等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等的判定方法、含有30°的直角三角形的性质、线段的垂直平分线定理、角的平分线定理，等等. 2.证明的思路和方法也是本章的重点.进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义. 3.利用尺规作线段的垂直平分线和角平分线的方法、步骤和理由，构建一个命题的逆命题、互逆命题的真假关系、逆定理等. 三、疑点点拨 易错点1：忽视等腰三角形的分类.如，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝＿＿＿. 本题没有供图，也没有说明是钝角三角形还是锐角三角形，而错解时容易只考虑其中的一种情况.事实上，遇到等腰三角形问题时，同学们一定要多留个心眼，注意分类. 易错点2：错用判定依据.如，如图，AB⊥CD，垂足为O，且OA＝OB，OC＝OD.求证：△AOC≌△BOD. 拿到这个题目，不少同学就会这样来证明：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝∠BOD＝90°，因为OA＝OB，OC＝OD，所以Rt△AOC≌Rt△BOD（HL）.而事实上，不是说两个三角形全等时，一遇到直角三角形就一定是要用“HL”，而是要根据已知条件和图形特点，本题中利用“HL”的条件并不充分，而只能将其当成一般三角形来说明全等. 易错点3：对命题、定理的理解错误.如，有同学认为：命题“对顶角相等”与命题“相等的角是对顶角”是互逆定理.其实，有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.很显然，命题“相等的角是对顶角”是假命题，所以它不是定理，也就说不上什么互逆定理了. 易错点4：勾股定理的错误运用.如，下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A.1，2，3 　B.32，42，52 C.0.3，0.4，0.5 D.5，8，11 不少同学会错误地认为32+42＝52，所以以32，42，52为三边长可以构成直角三角形.故应选B.事实上，得到这一错误的原因是未能彻底区分勾股定理及其勾股定理的逆定理，仅对概念的理解流于表面形式.而事实上，要判断以某三个数据为边长，能否构成一个直角三角形时，应将所给数据分别平方，再看其结果是否满足a2+b2＝c2的形式，如果满足了，则为直角三角形，否则就不是.本题的正确答案应该是C. 四、考点解密（所选例题均出自中考试卷） 本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、公理和定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占8分左右，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程. 考点1　利用定理证明 相关知识：公理1　三边对应相等的两个三角形全等.（SSS） 公理2　两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS） 公理3　两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA） 公理4　全等三角形的对应边相等，对应角相等. 定理1　等腰三角形的两个底角相等.叙述为“等边对等角”. 定理2　有两个角相等的三角形是等腰三角形.叙述为“等角对等边”. 定理3　有一个等于60°的等腰三角形是等边三角形. 定理4　在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理5　直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理6　如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 定理7　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示. 定理8　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理9　到线段两端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 定理10　三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理11　角平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理12　在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 定理13　三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 推论1　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS） 推论2　等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 复习策略：注意对这些公理、定理和推论的理解与运用，特别地要能对定理和推论进行证明，这样才能加深对其理解，运用时也能熟能生巧. 1.定理的证明 例1（怀化市）如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF. 求证：（1）PE＝PF； （2）点P在∠BAC的角平分线上. 分析（1）要证明PE＝PF，还没有碰到过这类证明一个四边形的邻边相等，考虑条件和利用全等三角形的知识，可连结AP，此时可以考虑利用HL证明Rt△AEP≌Rt△AFP，问题即可解决.（2）要证明点P在∠BAC的角平分线上，由（1）很快得到∠EAP＝∠FAP，于是即可判定. 证明：（1）如图，连结AP，因为PE⊥AB，PF⊥AC，所以∠AEP＝∠AFP＝90°， 又因为AE＝AF，AP＝AP，所以Rt△AEP≌Rt△AFP，所以PE＝PF. （2）因为Rt△AEP≌Rt△AFP，所以∠EAP＝∠FAP，所以AP是∠BAC的角平分线， 故点P在∠BAC的角平分线上. 说明　本题中的（1）实际上就是角平分线性质的简单变换，而（2）就是要求证明角平分线的另一个性质，只要略有点书本知识，总是即可简捷获解. 2.等腰三角形 例2（绍兴市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角ABD和ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°. （1）求∠DBC的度数；（2）求证：BD＝CE.  分析（1）要求∠DBC的度数，由于△ABD是等腰直角三角形，即知道∠ABD＝45°，而在等腰三角形ABC中顶角∠BAC＝40°，于是也可以求得底角∠ABC，从而可求得∠DBC.（2）显然容易证明△BAD≌△CAE，即得BD＝CE. 解（1）因为△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝45°， 又因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB， 因为∠BAC＝40°，所以∠ABC＝70°，所以∠DBC＝70°+45°＝115°. （2）因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AE， 所以△BAD≌△CAE，所以BD＝CE. 说明　本题始终紧扣等腰三角形的性质作为求解问题的突破口，并综合运用了全等三角形的知识，是中考有关这方面考题的热点. 3.线段的垂直平分线 例3（泉州市）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为＿＿＿. 分析　要求线段DE的大小，可将已知条件中的垂直平分线和周长问题转化为线段之间的关系. 解　因为DE是线段BC的垂直平分线，所以BE＝CE，DB＝DC， 又因为△EDC的周长为24，所以DC+CE+DE＝24…①， 因为△ABC与四边形AEDC的周长之差为12， 所以AB+BC+AC－（AE+DE+DC+AC）＝12， 即（AB－AE）+ （BC－DC）+ （AB－AE）－DE＝12，所以BE+BD－DE＝12， 即CE+DC－DE＝12…②，由①－②，得2DE＝12，所以DE＝6. 说明　运用线段的垂直平分线性质求解问题，既可以省去一次三角形全等的证明，还可以及时地将将问题转化为线段来处理. 4.角平分线 例4（临沂市）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是（ 　） A.PA＝PB B.PO平分∠APB　 C.OA＝OB D.AB垂直平分OP  分析　由已知条件，要能顺利求解，显然，要想到利用角平分线的性质. 解　因为OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，所以PA＝PB， 所以Rt△OAP≌Rt△OBP，所以OA＝OB，∠OPA＝∠OPB， 即PO平分∠APB，OP垂直平分AB，所以结论AB垂直平分OP是错误的.故应选D. 说明　角平分线的性质与判定是求解几何问题时常用结论，它既可以省去一次全等三角形的证明，又可以使过程简洁.另外，遇到角平分线问题时常用辅助线是过角平分线上的点引角的一边或两边的垂线. 5.含30°角的直角三角形 例5（滨州市）某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为＿＿＿. 分析　想象一下，地毯的长度应该楼梯的所有水平台阶的长度和加上楼梯竖直台阶的长度和，而此时为了方便求解，可将楼梯的所有水平台阶平移到AC，楼梯的所有竖直台阶平移到BC，剩下来的问题就是求AC和BC的长度，而此时可以利用含30°角的直角三角形的性质，结合勾股定理求解. 解　因为AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，所以BC＝2米， 由勾股定理，得AC＝2
米， 又因为AB段楼梯所铺地毯的长度等于BC+AC， 所以在AB段楼梯所铺地毯的长度应（2+2
） 米. 说明　直角三角形中有许多的重要性质，都是计算与证明几何问题的不可缺少的理论依据，同学们在复习时一定要注意训练与体会. 6.勾股定理的应用 例6（牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 分析　由于两直角边长分别为6m，8m，于是，可利用勾股定理求出其斜边的长，而题目只说明扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解. 解　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理，得AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD应分以下三种情况：①如图1，当AB＝AD＝10时，可求CD＝CB＝6，于是，△ABD的周长为32m；②如图2，当AB＝BD＝10时，可求CD＝4，由勾股定理，得AD＝4
，于是，△ABD的周长为（20+4
） m；③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理，得x＝
，于是，△ABD的周长为
m.  说明　本题事实上也是一道运用勾股定理解决生活中的实际问题，由于题设中问题不明确，所以求解时应注意分类，以避免漏解. 7.拼图验证勾股定理 例7（新疆自治区）如图1是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. （1）画出拼成的这个图形的示意图. （2）证明勾股定理.  分析　将四个全等的直角三角形拼成一个正方形，再利用面积的不变性来验证. 解　方法不惟一.如，（1）如图2所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为（a+b）2，大正方形的面积也可表示为c2+4×
ab，所以（a+b）2＝c2+4×
ab，即a2+2ab+b2＝c2+2ab，所以a2+b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.  又如，（1）如图3所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为c2，又可以表示为
ab×4+（b－a）2，所以c2＝
ab×4+（b－a）2，即c2＝2ab+b2－2ab+a2，所以c2＝a2+b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 说明　为了正确求解，可联想课本和资料上的例习题，并通过动手操作即可正确求解. 考点2　互逆命题与互逆定理 相关知识：1.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 2.一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 复习策略：复习互逆命题与互逆定理时，要从其本质上去理解与运用，注意原命题正确，其逆命题不一定正确，原命题错误，其逆命题不一定错误，所以虽然任何命题都有逆命题，但不是说所有的定理都有逆定理的. 例8（丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.  分析　由三角形全等的判定方法，光有AD＝BE，∠A＝∠FDE，是不能判定△ABC与△DEF全等的，但要想得到这两个三角形全等，添加的条件又不惟一，即本题是一道开放型问题. 解　是假命题.添加的条件不惟一.如，①添加条件：AC=DF. 证明：因为AD＝BE，所以AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE. 又因为∠A＝∠FDE，所以△ABC≌△DEF（SAS）. ②添加条件：∠CBA＝∠E. 证明：因为AD＝BE，所以AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE. 又因为∠A＝∠FDE，所以△ABC≌△DEF（ASA）. ③添加条件：∠C＝∠F. 证明：因为AD＝BE，所以AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE. 又因为∠A＝∠FDE，所以△ABC≌△DEF（AAS）. 说明　本题虽说是一道开放型问题，但只要依据全等三角形的判定和图形特征，具体解答还并不困难. 例9（上海市）已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，联结EF（如图所示）. （1）添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC. （2）分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是＿＿＿命题，命题2是＿＿＿命题（选择“真”或“假”填入空格）.  分析（1）要证明AB＝DC，可将部分条件转化，利用全等三角形的判定证明△AOB≌△DOC，进而利用全等三角形的性质求解.（2）要判断构成的命题是否真假，关键是看构成的命题是否成立，利用相关知识进行简单验证. 解（1）证明∠OEF＝∠OFE，所以OE＝OF， 因为E为OB的中点，F为OC的中点，所以OB＝OC，