三角形相关证明

1课题三角形的相关证明学习目标与考点分析掌握三角形相关证明的方法以及定理的熟练运用三角形证明是中考中必考知识点做好基础知识的掌握有助于综合运用所学知识学习重点三角形的全等证明以及与其他知识的结合运用学习方法讲练结合练习巩固课后总结学习内容与过程一课本导入联系生活结合书本导入今天所学知识复习前面所学知识三角形的相关初步知识二知识点梳理一全等三角形1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边SAS角边角ASA角角边AAS边边边SSS具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等HL性质对应边相等对应角相等对应中线相等对应高相等对应角平分线相等注判定两个三角形全等必须有一组边对应相等全等三角形面积相等2证题的思路2一相似三角形1三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形用符号表示相似读作相似于当且仅当一个三角形的三个角与另一个或几个三角形的三个角对应相等且三条对应边的比相等时这两个或几个三角形叫做相似三角形即定义中的两个条件缺一不可相似三角形的特征形状一样但大小不一定相等由相似三角形的定义知如果两个三角形相似那么它们的对应角相等对应边成比例2相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形一定是相似三角形其相似比k1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如ABCABC的对应边的比即相似比为k则ABCABC的相似比当且仅当它们全等时才有kk1相似比是一个重要概念后继学习时出现的频率较高其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数这一点借助相似三角形可观察得出二相似三角形的判定1相似三角形的判定判定定理1三边对应成比例的两三角形相似判定定理2两角对应相等的两个三角形相似判定定理3两边对应成比例且夹角相等两三角形相似方法总结1判定两个三角形相似至少需要下列条件之一两角对应相等两边对应成比例且夹角相等三条边对应成比例理解时可类比全等三角形的判定方法在中只要满足两个角对应相等这两个三角形就相似解题时关键是寻找对应角一般地在解题过程中要特别注意公共角对顶角同角的余角或补角都是相等的这是常用的判定方法2已有两边对应成比例时可考虑利用判定定理1或判定定理3但是在选择利用判定定理3时一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等2直角三角形相似的判定如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形图中的三角形可称为母子相似三角形或双直角三角形其应用较为广泛三典型例题讲解31寻找相似三角形例1如图在ABCD中E是AB延长线上一点连结DE交AC于点G交BC于点F那么图中相似的三角形不含全等三角形共有A6对B5对C4对D3对解由AEDC可得AEGCDGDFCEFB由BCAD可得BFEADEFCGDAGDCFEAD例3已知ABC中AB8AC6点DE分别在ABAC上如果以ADE为顶点的三角形和以ABC为顶点的三角形相似且相似比为求AD和AE的长分析通过相似比将ADAE的长转化到方程中求解由于已知的两个三角形相似并没有具体的对应关系所以结论具有不确定性应分类讨论解如图1所示当ADEABC时有AE2如图2所示当ADEACB时小结4数形结合思想方法是解答有关相似三角形问题的基本方法在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系并对问题进行全面的进一步的分析与探索例5如图CD是RtABC斜边AB上的中线过点D垂直于AB的直线交BC于E交AC延长线于F求证1ADFEDB2CD2DEDF分析1ADF与EDB都是直角三角形要证它们相似只要再找一个角对应相等即可2注意到CD是斜边AB的中线ADBDCD由结论1不难得出结论2证明1DFABADFBDE90又FABAFBADFEDB2由1得ADBDDEDF又CD是RtABC斜边上的中线ADBDCD故CD2DEDF点评本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等这是一道阶梯型问题第2题根据1得出有关比例式然后使用等线代换使问题简捷获证其实第2题也可这样思考把它转化为比例式证明这三条线段所在的CDEFDC请同学们完成这一证明例6如图AD是ABC的角平分线BEAD于ECFAD于F求证分析待证式中的四条线段不是在两个三角形中无法直接根据两个三角形相似得出需要插入一个中间比由题设易证ABEACFBDECDF从中不难找到这个中间比证明AD是ABC的角平分线12BEADCFAD3490ABEACF5点评当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时一般可寻找中间比帮忙5相似三角形的性质的应用例7如图所示D是BC上一点ABCDBAEF分别是ACAD的中点且AB28BC36求BEBF解析BEBF分别是ABCABD中ACAD边上的中线而ACAD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答因为ABCDBA且BC36AB28所以相似比又因为BEBF分别是ABCABD中ACAD边上的中线点拨利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时注意把相似三角形的对应元素确定准确例8如图所示PNBCADBC交PN于E交BC于D分析首先先说明APN与ABC相似再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已知条件就可求出这三个问题的结论解1因为PNBC所以可得APNABC又因为相似三角形面积比等于相似比的平方6因为SABC18cm2所以SAPN2cm2已知AB4AC2D是BC中点AD是整数求AD证明延长AD到E使DEAD则三角形ADC全等于三角形EBD即在三角形中即又是整数则如图在中为的中点点分别在上且求证说明菁优网证明3在ABC中ACB90ACBC直线MN经过点C且ADMN于DBEMN于E1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时求证ADCCEBDEADBE2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时求证DEADBE3当直线MN绕点C旋转到图3的位置时试问DEADBE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系并加以证明说明菁优网1证明ACB90ADBC7ACDBCE90而ADMN于DBEMN于EADCCEB90BCECBE90ACDCBE在RtADC和RtCEB中ADCCEBACDCBEACCBRtADCRtCEBAASADCEDCBEDEDCCEBEAD2证明在ADC和CEB中ADCCEB90ACDCBEACCBADCCEBAASADCEDCBEDECECDADBE3DEBEAD证明的方法与2相同4如图所示已知AEABAFACAEABAFAC求证1ECBF2ECBF证明1AEABAFACEAB90FACEABBACFACBAC5如图BEACCFABBMACCNAB求证1AMAN2AMAN证明即AEBMCF86已知如图ACBDAE和BE分别平分CAB和DBACD过点E求证1AEBE2ABACBD证明1ACBDCABDBA1801分又AE和BE分别平分CAB和DBAEAB12CABEBA12DBAEABEBA12CABDBA90AEBE4分2在AB上截取AFAC连接EF在CAE和FAE中ACAFCAEFAEAEAECAEFAE则CEAFEA8分又CEABEDFEAFEB90FEBDEB在DEB和FEB中DEBFEBEBEBDBEFBE菁优网DEBFEBASA10分BDBFABAFFBACBD12分7如图已知AD是BC上的中线且DFDE求证BECF证明AD是BC上的中线BDDC又DFDE已知BDECDF对顶角相等BEDCFDSASECFD全等三角形的对应角相等CFBE内错角相等两直线平行8已知如图ABCDDEACBFACEF是垂足求证证明1DEACBFAC课内练习与训练ADECBF91已知如图四边形ABCD中AC平分角BADCE垂直AB于E且角B角D180度求证AEADBE2已知如图ABCDDFAC于FBEAC于EDFBE求证AFCE3已知如图ABACABACADAEADAE求证BECD4如图DEABDFAC垂足分别为EF请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件另一个为结论推出一个正确的命题ABACBDCDBECF5如图ABC中ABAC过A作GEBC角平分线BDCF交于点H它们的延长线分别交GE于EG试在图中找出三对全等三角形并对其中一对给出证明FEACDBAEDCBFEDCABFEDCABGH106如图在中点在上点在上请你再添加一个条件使得并给出证明你添加的条件是2根据你添加的条件再写出图中的一对全等三角形不再添加其他线段不再标注或使用其他字母不必写出证明过程7已知如图ABBCADDCABAD若E是AC上一点求证EBED8已知如图ABCD交于O点CEDFCEDFAEBF求证ACEBDF9已知如图ABC中ADBC于DE是AD上一点BE的延长线交AC于F若BDADDEDC求证BFAC10已知如图ABC和ABC中BACBACBBADAD分别是BACBAC的平分线且ADAD求证ABCABC11已知如图ABCDADBCO是AC中点OEAB于EOFD于F求证OEOF12已知如图ACOBBDOAAC与BD交于E点若OAOB求证AEBE1113已知如图ABDEAEBDAFDCEFBC求证AEFDBC14如图BE分别是CDAC的中点ABCDDEAC求证ACCD15已知如图PAPC分别是ABC外角MAC和NCA的平分线它们交于点PPDBM于DPFBN于F求证BP为MBN的平分线16在ABC中ACB90ACBC直线MN经过点C且ADMN于DBEMN于E1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时求证ADCCEBDEADBE2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时求证DEADBE3当直线MN绕点C旋转到图3的位置时试问DEADBE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系并加以证明CBAED图1NMABCDEMN图2ACBEDNM图31217如图已知AD是ABC的中线DEAB于EDFAC于F且BECF求证1AD是BAC的平分线2ABAC七如果四边形ABCD的对角线交于O过O作直线OGAB交BC于E交AD于F交CD的延长线于G求证OG2GEGF八如下图在ABC中DE分别为BC的三等分点CM为AB上的中线CM分别交AEAD于FG则CFFGGM532九如下图ABC中ADBC连结CD交AB于E且AEEB13过E作EFBC交AC于FSADE2cm2求SBCESAEF十已知线段AB分点C将AB分成311两组分点D将AB分成59两段且CD4cm求AB的长A12EFCDB13十一下图中E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点AEEC13BE的延长线交CD的延长线于G交AD于F求证BFFG12