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上传于:2024-06-27
导数的综合应用:利用导数证明不等式         作差构造法  设f(x)=2xln x+1.求证:f(x)≤x2-x+eq \f(1,x)+2ln x. 【证明】 x2-x+eq \f(1,x)+2ln x-f(x) =x(x-1)-eq \f(x-1,x)-2(x-1)ln x =(x-1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,x)-2ln x))(x>0), 令g(x)=x-eq \f(1,x)-2ln x,则g′(x)=1+eq \f(1,x2)-eq \f(2,x)=eq \f((x-1)2,x2)≥0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增, 又g(1)=0,所以当01时,g(x)>0, 所以(x-1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,x)-2ln x))≥0, 即f(x)≤x2-x+eq \f(1,x)+2ln x. eq \a\vs4\al() 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,利用导数研究其单调性,借助所构造函数
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