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上传于：2024-06-27
导数的综合应用：利用导数证明不等式
作差构造法
设f(x)＝2xln x＋1.求证：f(x)≤x2－x＋eq \f(1,x)＋2ln x.
【证明】 x2－x＋eq \f(1,x)＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－eq \f(x－1,x)－2(x－1)ln x
＝(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)－2ln x))(x>0)，
令g(x)＝x－eq \f(1,x)－2ln x，则g′(x)＝1＋eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)＝eq \f(（x－1）2,x2)≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以当01时，g(x)>0，
所以(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)－2ln x))≥0，
即f(x)≤x2－x＋eq \f(1,x)＋2ln x.
eq \a\vs4\al()
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数