导数的综合应用:利用导数证明不等式
作差构造法
设f(x)=2xln x+1.求证:f(x)≤x2-x+eq \f(1,x)+2ln x.
【证明】 x2-x+eq \f(1,x)+2ln x-f(x)
=x(x-1)-eq \f(x-1,x)-2(x-1)ln x
=(x-1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,x)-2ln x))(x>0),
令g(x)=x-eq \f(1,x)-2ln x,则g′(x)=1+eq \f(1,x2)-eq \f(2,x)=eq \f((x-1)2,x2)≥0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,所以当01时,g(x)>0,
所以(x-1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,x)-2ln x))≥0,
即f(x)≤x2-x+eq \f(1,x)+2ln x.
eq \a\vs4\al()
待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,利用导数研究其单调性,借助所构造函数