2022届高三一轮专题复习-利用导数证明不等式恒成立导学案.doc

2022届高三一轮专题复习学案 利用导数证明不等式恒成立 【课时目标】（1）熟练掌握各种证明不等式恒成立的方法；（2）学会解决试卷上的部分题型；（3）学会整理归纳方法总结. 一、题型认知 模板：𝑓x＞𝑔（x）在给定区间上恒成立 方向：构造函数 二、方法总结 方法一：直接构造 适当变形为fx−gx＞0或𝑓（x）𝑔（x）＞1 例1：设函数f（x）=ln（x-1）+ax2+x+1，g（x）=（x-1）ex+ax2 （1）若a≥0，讨论g（x）的零点个数. （2）证明𝑓x≤𝑔（x）. 方法二：函数的合成与分解 例2：已知f（x）=𝑙𝑛𝑥+1ⅇ𝑥，设g（x）=（x2+x）f’（x） 试证明：对于∀x∈（0，+∞），使得g（x）＜1+e-2 例3：（2016山东节选）已知f（x）=x-lnx+2𝑥−1𝑥2 证明：f（x）＞f’（x）+32对于∀x∈[1,2]成立. 方法三：找中间值 使得f（x）＞C ＞g（x） 例4：已知函数f（x）=ex-ax2，g（x）=ax（lnx-x） 若a∈（0,ⅇ22]且x＞0,.求证：f（x）＞g（x） 方法四：中间函数转换 h（x）＞g（x）＞f（x） 例5：已知𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)(𝑒𝑥+𝑥+2)在点(0,𝑓(0))处的切线方程为6𝑥−𝑦=0．(1)求实数a，b的值；(2)当𝑥>0时，证明：𝑓(𝑥)>2𝑙𝑛𝑥+2𝑥+3． 方法五：等价转化 常见转化：（1）换元后构造（2）消元后单一变量 例6：已知函数f（x）＝lnx﹣tx+t． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当t＝2时，方程f（x）＝m﹣ax恰有两个不相等的实数根x1，x2，证明：𝑥1+𝑥22𝑥1𝑥2＞2−𝑎． 利用导数证明不等式恒成立答案 【课时目标】（1）熟练掌握各种证明不等式恒成立的方法；（2）学会解决试卷上的部分题型；（3）学会整理归纳方法总结. 一、题型认知 模板：𝑓x＞𝑔（x）在给定区间上恒成立 方向：构造函数 二、方法总结 方法一：直接构造 适当变形为fx−gx＞0或𝑓（x）𝑔（x）＞1 例1：设函数f（x）=ln（x-1）+ax2+x+1，g（x）=（x-1）ex+ax2 （1）若a≥0，讨论g（x）的零点个数. （2）证明𝑓x≤𝑔（x）. 【解答】(1)由题意，𝑔'(𝑥)=𝑥𝑒𝑥+2𝑎𝑥=𝑥(𝑒𝑥+2𝑎)，①当𝑎=0时，则函数𝑔(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥，此时函数𝑔(𝑥)有唯一的零点𝑥=1；②当𝑎>0时，令𝑔'(𝑥)=0，易知当𝑥∈(−∞,0)时，𝑔'(𝑥)<0，𝑔(𝑥)递减，当𝑥∈(0,+∞)时，𝑔'(𝑥)>0，𝑔(𝑥)递增，∴𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(0)=−1，故函数𝑔(𝑥)最多有两个零点，当𝑥<0时，可得𝑒𝑥<𝑒0=1且𝑥−1<0，故(𝑥−1)𝑒𝑥>𝑥−1，∴𝑔(𝑥)>𝑎𝑥2+𝑥−1，故𝑥→−∞时，𝑔(𝑥)>0，∴𝑔(𝑥)在(−∞,0)有一个零点；当𝑥>0时，𝑔(1)=𝑎>0，故𝑔(𝑥)在(0,+∞)上有一个零点；综上可知，当𝑎=0时，𝑔(𝑥)有唯一零点，当𝑎>0时，𝑔(𝑥)有两个零点；(2)证明：令𝐻(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−ln(𝑥−1)−𝑥−1，𝑥>1，则𝐻'(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−1𝑥−1−1=𝑥𝑒𝑥−𝑥𝑥−1=𝑥(𝑒𝑥−1𝑥−1)，令𝑡(𝑥)=𝑒𝑥−1𝑥−1，可得𝑡(𝑥)在(1,+∞)上是增函数，且𝑡(1+𝑒−2)=𝑒1+𝑒−2−𝑒2<0,𝑡(2)=𝑒2−1>0，∴𝑡(𝑥)在(1,+∞)上有唯一零点𝑥0∈(1,2)，当𝑥∈(1,𝑥0)时，𝐻'(𝑥)>0，𝐻(𝑥)递减，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，𝐻'(𝑥)<0，𝐻(𝑥)递增，故𝐻(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝐻(𝑥0)=(𝑥0−1)𝑒𝑥0−ln(𝑥0−1)−𝑥0−1，且𝑒𝑥0=1𝑥0−1，∴𝐻(𝑥0)=1+𝑥0−𝑥0−1=0，∴𝐻(𝑥)≥𝐻(𝑥0)=0，即得证．   方法二：函数的合成与分解 例2：已知f（x）=𝑙𝑛𝑥+1ⅇ𝑥，设g（x）=（x2+x）f’（x） 试证明：对于∀x∈（0，+∞），使得g（x）＜1+e-2 【解答】 ∵f（x）=𝑙𝑛𝑥+1ⅇ𝑥 ∴f’（x）=1−𝑥−𝑥𝑙𝑛𝑥𝑥ⅇ𝑥 ∴g（x）=（x2+x）f’（x）=𝑥+1ⅇ𝑥（1-x-xlnx） ∵要证g（x）＜1+e-2即要证1-x-xlnx＜ⅇ𝑥𝑥+1（1+ⅇ−2） 令h（x）=1-x-xlnx ∴h’（x）=-lnx-2令h’（x）=0得x= e-2 x （0，e-2） e-2 （e-2，+∞） h’（x） + 0 - h（x）  极大值  ∴h（x）≤h（e-2）=1+ e-2 ∵x＞0，ex＞x+1 ∴1-x-xlnx≤1+ e-2＜ⅇ𝑥𝑥+1（1+ⅇ−2） 例3：（2016山东节选）已知f（x）=x-lnx+2𝑥−1𝑥2 证明：f（x）＞f’（x）+32对于∀x∈[1,2]成立. 令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓'(𝑥)=𝑥−𝑙𝑛𝑥+2𝑥−1𝑥2−1+2𝑥2+1𝑥−2𝑥3=𝑥−𝑙𝑛𝑥+3𝑥+1𝑥2−2𝑥3−1．令𝑔(𝑥)=𝑥−𝑙𝑛𝑥，ℎ(𝑥)=3𝑥+1𝑥2−2𝑥3−1．则𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓'(𝑥)=𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥)，由𝑔'(𝑥)=𝑥−1𝑥≥0，可得𝑔(𝑥)≥𝑔(1)=1，当且仅当𝑥=1时取等号；又ℎ'(𝑥)=−3𝑥2−2𝑥+6𝑥4，设𝜑(𝑥)=−3𝑥2−2𝑥+6，则𝜑(𝑥)在[1,2]上单调递减，且𝜑(1)=1，𝜑(2)=−10，∴在[1,2]上存在𝑥0，使得𝑥∈(1,𝑥0) 时𝜑(𝑥0)>0，𝑥∈(𝑥0,2)时，𝜑(𝑥0)<0，∴函数ℎ(𝑥)在(1,𝑥0)上单调递增；在(𝑥0,2)上单调递减，由于ℎ(1)=1，ℎ(2)=12，因此ℎ(𝑥)≥ℎ(2)=12，当且仅当𝑥=2取等号，∴𝑓(𝑥)−𝑓'(𝑥)=𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥)>𝑔(1)+ℎ(2)=32，∴𝐹(𝑥)>32恒成立．即𝑓(𝑥)>𝑓'(𝑥)+32对于任意的𝑥∈[1,2]成立． 方法三：找中间值 使得f（x）＞C ＞g（x） 例4：已知函数f（x）=ex-ax2，g（x）=ax（lnx-x），其中常数a∈R 若a∈（0,ⅇ22]且x＞0,.求证：f（x）＞g（x）
方法四：中间函数转换 h（x）＞g（x）＞f（x） 例5：已知𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏)(𝑒𝑥+𝑥+2)在点(0,𝑓(0))处的切线方程为6𝑥−𝑦=0．(1)求实数a，b的值；(2)当𝑥>0时，证明：𝑓(𝑥)>2𝑙𝑛𝑥+2𝑥+3． 【解答】1𝑓'𝑥=𝑎𝑒𝑥+𝑥+2+𝑎𝑥+𝑏𝑒𝑥+1，因为𝑓𝑥在点0,𝑓0处的切线方程为𝑦=6𝑥，所以𝑓0=0，𝑓'0=6，即3𝑏=03𝑎+2𝑏=6，解得𝑎=2，𝑏=0．2 解法一： 由(1)得𝑓(𝑥)=2𝑥(𝑒𝑥+𝑥+2)，①先证明：当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>6𝑥成立．因为𝑥>0时，𝑓(𝑥)−6𝑥=2𝑥(𝑒𝑥+𝑥+2)−6𝑥=2𝑥(𝑒𝑥+𝑥−1)>0．所以当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>6𝑥成立；②再证明：当𝑥>0时，6𝑥>2𝑙𝑛𝑥+2𝑥+3，即证4𝑥−2𝑙𝑛𝑥−3>0成立．设𝑔(𝑥)=4𝑥−2𝑙𝑛𝑥−3，则𝑔'(𝑥)=4−2𝑥=4𝑥−2𝑥(𝑥>0)，当0<𝑥<12时，𝑔'(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减，