2012年江苏省南京市高考数学一模试卷

2012年江苏省南京市高考数学一模试卷一填空题本大题共14小题每小题5分共70分15分计算25分若复数为纯虚数则m35分某人5次上班途中所花的时间单位分钟分别为x891011已知这组数据的平均数为10则其方差为45分已知等差数列an的各项均为正数若a13前三项的和为21则a4a5a655分设P和Q是两个集合定义集合PQxxP且xQ若P1234则PQ65分根据如图所示的伪代码可知输出的结果I为菁优网httpwwwjyeoocom75分已知扇形的周长为8cm则该扇形的面积S的最大值为cm285分过椭圆ab0的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M与y轴的交点为B若AMMB则该椭圆的离心率为95分若方程lgxx5在区间kk1kZ上有解则所有满足条件的k的值的和为105分如图海岸线上有相距5海里的两座灯塔AB灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船甲船位于灯塔A的北偏西75方向与A相距海里的D处乙船位于灯塔B的北偏西60方向与B相距5海里的C处则两艘船之间的距离为海里菁优网httpwwwjyeoocom菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网115分如图在正三棱柱ABCA1B1C1中D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形则此三棱柱的体积为菁优网httpwwwjyeoocom125分设p函数fxxa在区间4上单调递增qloga21如果p是真命题q也是真命题求实数a的取值范围135分如图在正方形ABCD中已知AB2M为BC的中点若N为正方形内含边界任意一点则的最大值是145分已知函数fxaxx4x1AB是其图象上不同的两点若直线AB的斜率k总满足k4则实数a的值是二解答题本大题共12小题共90分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤1514分某学校的篮球队羽毛球队乒乓球队各有10名队员某些队员不止参加了一支球队具体情况如图所示现从中随机抽取一名队员求1该队员只属于一支球队的概率2该队员最多属于两支球队的概率1614分如图在四棱锥PABCD中底面ABCD中为菱形BAD60Q为AD的中点1若PAPD求证平面PQB平面PAD2点M在线段PC上PMtPC试确定实数t的值使得PA平面MQB1714分2011番禺区已知函数fx2cos2xsinxcosx1求函数fx定义在上的值域2在ABC中若fC22sinBcosACcosAC求tanA的值1816分在平面直角坐标系xoy中已知抛物线y22px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网1求抛物线的标准方程2设点C是抛物线上的动点若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4求证圆C过定点1916分设a0函数fxx2alnx11当a1时求曲线yfx在x1处的切线方程2当x1时求函数fx的最小值2016分在数列an中已知a1p0且1若数列an为等差数列求p的值2求数列an的前n项和Sn3当n2时求证21选修41几何证明选讲如图已知四边形ABCD内接于OEFCDFG切O于点G求证EFFG菁优网httpwwwjyeoocom22选修42矩阵与变换已知矩阵在平面直角坐标系中设直线2xy10在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F求曲线F的方程23已知直线l的参数方程为t为参数P是椭圆上任意一点求点P到直线l的距离的最大值24不等式选讲已知ab为正数求证25已知圆F1x12y216定点F210动圆过点F2且与圆F1相内切1求点M的轨迹C的方程2若过原点的直线l与1中的曲线C交于AB两点且ABF1的面积为求直线l的方程菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网菁优网httpwwwjyeoocom26已知x1na0a1x1a2x12a3x13anx1nn2nN1当n5时求a0a1a2a3a4a5的值2设Tnb2b3b4bn试用数学归纳法证明当n2时菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网2012年江苏省南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一填空题本大题共14小题每小题5分共70分15分计算考点三角函数的化简求值专题计算题分析先利用诱导公式得出所求的式子等于cos然后根据特殊角的三角函数值得出答案解答解cos故答案为点评本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值熟练掌握相关公式可以提高做题效率25分若复数为纯虚数则m2考点复数代数形式的乘除运算复数的基本概念专题计算题分析先将ai1i化简为代数形式再根据纯虚数的概念令其实部为0虚部不为0求出m值解答解i根据纯虚数的概念得出解得m2故答案为2点评本题考查复数的除法运算复数的分类纯虚数的概念属于基础题菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网35分某人5次上班途中所花的时间单位分钟分别为x891011已知这组数据的平均数为10则其方差为2考点极差方差与标准差众数中位数平均数专题计算题分析根据题意五个数据的平均数为10可以利用平均数的公式求出x12然后可以用方差的计算公式求出这五个数的方差即可得到正确答案解答解五个数x891011的平均数为10x89101110x12五个数的方差为s2121028102910210102111022故答案为2点评本题给出五个数通过已知平均数的情况下求出未知数x的值并且进一步求它们的方差着重考查了平均数和方差的计算公式属于基础题45分已知等差数列an的各项均为正数若a13前三项的和为21则a4a5a657考点等差数列的性质专题计算题分析先根据等差中项的性质可知a1a2a33a2求得a2的值进而数列的公差可求得进而利用a4a5a6a13da23da33d求得答案解答解a1a2a33a221a27d734a4a5a6a13da23da33d219d57故答案为57点评本题主要考查了等差数列的性质解题的关键是灵活利用等差中项的性质菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网55分设P和Q是两个集合定义集合PQxxP且xQ若P1234则PQ4考点交并补集的混合运算专题新定义分析由题意通过解根式不等式求出集合B由定义PQxxP且xQ求PQ可检验P1234中的元素在不在中所有在P中不在Q中的元素即为PQ中的元素解答解集合xx由定义PQxxP且xQ求PQ可检验P1234中的元素在不在Q中所有在P中不在Q中的元素即为PQ中的元素故PQ4故答案为4点评此题属于以其他不等式的解法及新定义为平台考查了两集合差的运算利用了转化的数学思想其中确定出两集合理解新定义是解本题的关键65分根据如图所示的伪代码可知输出的结果I为5菁优网httpwwwjyeoocom菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点伪代码专题计算题分析根据题意为伪代码通过分析执行顺序发现为循环结构通过执行输出结果即可解答解根据题意本伪代码为循环结构执行本程序如下s1i1s122i2s23i3s34i4s45i5此时不满足循环条件跳出输出i5故答案为5点评本题考查伪代码通过对题目的分析得到规律经过运算得到结果本题属于基础题75分已知扇形的周长为8cm则该扇形的面积S的最大值为4cm2考点扇形面积公式专题计算题分析由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关故可设出半径和弧长表示出周长和面积公式根据基本不等式做出面积的最大值即可解答解设扇形半径为r弧长为l则周长为2rl8面积为slr因为82rl2所以rl8所以s4故答案为4点评本题考查扇形的周长和面积公式及利用基本不等式求最值本题解题的关键是正确表示出扇形的面积再利用基本不等式求解85分过椭圆ab0的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M与y轴的交点为B若AMMB则该椭圆的离心率为菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点椭圆的简单性质专题计算题分析易知左顶点A的坐标为a0从而设直线l的方程为yxa与y轴相交得到B0a再由AMMB知M为线段AB的中点得M最后由M在椭圆上求得ac关系得到离心率解答解根据题意左顶点Aa0直线l的方程为yxaB0a又AMMBM又M在椭圆上整理得a23b23a2c22a23c2故答案为点评本题主要考查椭圆的顶点离心率以及abc间的转化关系同时还考查线与线的关系点与椭圆的位置关系95分若方程lgxx5在区间kk1kZ上有解则所有满足条件的k的值的和为1菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点根的存在性及根的个数判断专题数形结合函数思想分析构造函数ylgxyx5画出图象结合函数的奇偶性推出结论解答解由方程可令ylgxyx5画出图象两个函数都是偶函数所以函数图象的交点关于y轴对称因而方程lgxx5在区间kk1kZ上有解一根位于k1k另一根位于kk1则所有满足条件的k的值的和1故答案为1菁优网httpwwwjyeoocom点评本题考查知识点是根的存在性及根的个数判断函数的应用函数与方程的思想数形结合思想是中档题105分如图海岸线上有相距5海里的两座灯塔AB灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船甲船位于灯塔A的北偏西75方向与A相距海里的D处乙船位于灯塔B的北偏西60方向与B相距5海里的C处则两艘船之间的距离为海里菁优网httpwwwjyeoocom考点解三角形的实际应用专题计算题分析先连接AC可得到BC的长度和CAD的值再由余弦定理将题中数据代入即可得到答案解答菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网解连接AC由题意可知ABBC5ABCACBBAC60CAD45根据余弦定理可得CD2AC2AD22ACADcosCAD361826313故答案为点评本题主要考查余弦定理的应用属基础题115分如图在正三棱柱ABCA1B1C1中D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形则此三棱柱的体积为8菁优网httpwwwjyeoocom考点棱柱棱锥棱台的体积专题计算题综合题分析设ACaCC1b有截面BC1D是面积为6的直角三角形求出ab然后求出体积解答解设ACaCC1b则由a2b22a2b2得b22a2又a26a28V848故答案为8点评本题考查棱柱的体积的求法考查计算能力是基础题125分设p函数fxxa在区间4上单调递增qloga21如果p是真命题q也是真命题求实数a的取值范围菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点命题的真假判断与应用复合命题的真假专题计算题分析由已知中p函数fxxa在区间4上单调递增qloga21我们可以分别求出满足条件的a的取值范围再由p是真命题q也是真命题构造关于a的不等式组即可得到答案解答解p函数fxxa在区间4上单调递增故a4又qloga210a1或a2如果p为真命题则p为假命题即a4又q为真即0a1或a2a4故实数a的取值范围是a4点评本题考查的知识点是命题的真假判断与应用复合命题的真假其中分别求出满足命题p和命题q的a的取值范围是解答本题的关键135分如图在正方形ABCD中已知AB2M为BC的中点若N为正方形内含边界任意一点则的最大值是6菁优网httpwwwjyeoocom菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点平面向量数量积的运算专题计算题数形结合分析在平面内建立合适的坐标系将向量的数量积用坐标表示再利用线性规划解决问题解答解以A为坐标原点以AD方向为x轴正方向以AB方向为y轴负方向建立坐标系则12设N点坐标为xy则xy则0x22y0令Zx2y将ABCD四点坐标依次代入得ZA0ZB4ZC6ZD2故Z的最大值为6故答案为6菁优网httpwwwjyeoocom点评向量的主要功能就是数形结合将几何问题转化为代数问题但关键是建立合适的坐标系将向量用坐标表示再将数量积运算转化为方程或函数问题145分已知函数fxaxx4x1AB是其图象上不同的两点若直线AB的斜率k总满足k4则实数a的值是菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点导数的运算分析先对函数fx求导然后根据a4x34在x1上恒成立可得答案解答解fxaxx4fxa4x3x1由题意得a4x34即4x3a4x34在x1上恒成立求得a则实数a的值是故答案为点评本题主要考查导数的运算和导数的几何意义属中档题二解答题本大题共12小题共90分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤1514分某学校的篮球队羽毛球队乒乓球队各有10名队员某些队员不止参加了一支球队具体情况如图所示现从中随机抽取一名队员求1该队员只属于一支球队的概率2该队员最多属于两支球队的概率菁优网httpwwwjyeoocom菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点等可能事件的概率专题计算题分析1本题是一个古典概型试验发生包含的事件3个球队共有20名队员满足条件的事件是随机抽取一名队员只属于一支球队从图中看出结果数根据古典概型概率公式得到结果2随机抽取一名队员该队员最多属于两支球队它的对立事件是该队员属于三个球队这样的队员只有2个得到该队员属于三个球队的概率是根据对立事件的概率公式得到结果解答解1由题意知本题是一个古典概型试验发生包含的事件从图中可以看出3个球队共有20名队员满足条件的事件是随机抽取一名队员该队员只属于一支球队共有345则P随机抽取一名队员该队员只属于一支球队的概率为2记随机抽取一名队员该队员最多属于两支球队为事件B它的对立事件是该队员属于三个球队这样的队员只有2个该队员属于三个球队的概率是PB1P1故随机抽取一名队员该队员最多属于两支球队的概率为点评本题考查古典概型考查对立事件的概率考查概率中经常用的至少和至多词语这是题目容易出错的原因1614分如图在四棱锥PABCD中底面ABCD中为菱形BAD60Q为AD的中点1若PAPD求证平面PQB平面PAD2点M在线段PC上PMtPC试确定实数t的值使得PA平面MQB菁优网httpwwwjyeoocom菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定专题计算题证明题分析1PAPD连BD四边形ABCD菱形Q为AD中点证明平面PAD内的直线AD垂直平面PQB内的两条相交直线BQPQ即可证明平面PQB平面PAD2连AC交BQ于N交BD于O点M在线段PC上PMtPC实数t的值说明PA平面MQB利用PAMN说明三角形相似求出t解答解1连BD四边形ABCD菱形ADABBAD60ABD是正三角形Q为AD中点ADBQPAPDQ为AD中点ADPQ又BQPQQAD平面PQBAD平面PAD平面PQB平面PAD2当t时使得PA平面MQB连AC交BQ于N交BD于O则O为BD的中点又BQ为ABD边AD上中线N为正三角形ABD的中心令菱形ABCD的边长为a则ANaACaPA平面MQBPA平面PAC平面PAC平面MQBMNPAMN即PMPCt点评本题考查平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定考查空间想象能力逻辑思维能力是中档题菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网1714分2011番禺区已知函数fx2cos2xsinxcosx1求函数fx定义在上的值域2在ABC中若fC22sinBcosACcosAC求tanA的值考点正弦函数的单调性运用诱导公式化简求值专题计算题分析1先对函数fx根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简再由x的范围求得2x的范围最后根据正弦函数的性质可求得fx的值域2将C代入到函数fx中可求得C的值进而可得到AB的值再结合2sinBcosACcosAC运用两角和与差的公式即可得到tanA的值解答解1fx1cos2xsin2x2sin2x1fx03即fx的值域为032由fC2得2sin2C12sin2C0CCAB又2sinBcosACcosAC2sinB2sinAsinC即点评本题主要考查二倍角公式两角和与差的公式的应用考查正弦函数的值域的求法高考对三角函数的考查以基础题为主一定要加强基础知识的夯实1816分在平面直角坐标系xoy中已知抛物线y22px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为51求抛物线的标准方程菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网2设点C是抛物线上的动点若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4求证圆C过定点考点直线与圆锥曲线的综合问题专题综合题分析1根据抛物线的定义及横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5可求得p则抛物线方程可得2设圆心C的坐标为半径为r根据圆心C在y轴上截得的弦长为4表示出r和y0的关系代入圆的方程根据对于任意的y0R方程均成立进而得到关于x和y的方程组求得x和y进而推断圆C过定点解答解1依题意得p2抛物线标准方程为y24x2设圆心C的坐标为半径为r圆心C在y轴上截得的弦长为4圆心C的方程为从而变为对于任意的y0R方程均成立故有解得所以圆C过定点20点评本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点试题具有一定的综合性覆盖面大不仅考查三基掌握的情况而且重点考查学生的作图数形结合等价转化分类讨论逻辑推理合理运算以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力1916分设a0函数fxx2alnx11当a1时求曲线yfx在x1处的切线方程2当x1时求函数fx的最小值菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点导数的几何意义利用导数求闭区间上函数的最值专题综合题分析1将a1代入对函数fx进行求导得到切线的斜率f1切点为12从而得到切线方程2分xe和xe两种情况讨论分别对函数fx进行求导根据导函数的正负判断出函数fx的单调性后可得到答案解答解1当a1时fxx2lnx1令x1得f12f11所以切点为12切线的斜率为1所以曲线yfx在x1处的切线方程为xy102当xe时fxx2alnxaxea0fx0恒成立fx在e上增函数故当xe时yminfee2当1xe时fxx2alnx11xei当即0a2时fx在x1e时为正数所以fx在区间1e上为增函数故当x1时ymin1a且此时f1feii当即2a2e2时fx在时为负数在间时为正数所以fx在区间上为减函数在上为增函数故当时且此时iii当即a2e2时fx在x1e时为负数所以fx在区间1e上为减函数当xe时yminfee2综上所述当a2e2时fx在xe时和1xe时的最小值都是e2所以此时fx的最小值为fee2当2a2e2时fx在xe时的最小值为而菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网所以此时fx的最小值为当0a2时在xe时最小值为e2在1xe时的最小值为f11a而f1fe所以此时fx的最小值为f11a所以函数yfx的最小值为点评本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系当导函数大于0时原函数单调递增当导函数小于0时原函数单调递减2016分在数列an中已知a1p0且1若数列an为等差数列求p的值2求数列an的前n项和Sn3当n2时求证考点数列与不等式的综合等差数列的前n项和数列的求和等差数列的性质专题计算题分析1设数列an的公差为d由题意得a1n1da1ndn23n2对nN恒成立即求出首项和公差再由a1p0求得p的值2由条件可得当n为奇数求得anp即当n1时也符合当n为偶数由题意可得ana2因为a1a26由此求得数列an的通项公式再用裂项法和放缩法证明两种情况下Sn的值都大于解答解1设数列an的公差为d则ana1n1dan1a1nd由题意得a1n1da1ndn23n2对nN恒成立即d2n22a1dd2na12a1dn23n2所以即或因为a1p0故p的值为23分2因为an1ann23n2n1n2所以an2an1n2n3所以5分菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网当n为奇数且n3时相乘得所以anp当n1时也符合当n为偶数且n4时相乘得所以ana2因为a1a26所以a2所以an当n2时也符合所以数列an的通项公式为an7分当n为偶数时Snp2pppp当n为奇数时Snp2p3pppp所以Sn10分3当n为偶数时442213分当n为奇数且n2时44215分又因为对任意nN都有故当n2时16分菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网点评本题主要考查等差数列的定义和性质等差数列的通项公式数列与不等式综合用裂项法进行数列求和用放缩法证明不等式属于难题21选修41几何证明选讲如图已知四边形ABCD内接于OEFCDFG切O于点G求证EFFG菁优网httpwwwjyeoocom考点与圆有关的比例线段相似三角形的判定相似三角形的性质圆內接多边形的性质与判定专题计算题分析根据切割线定理得FG2FBFA再利用两个三角形EFD和AFE相似从而可求证得两线段相等解答解因为FG切O于点G所以FG2FBFA2分因为EFCD所以BEFECD又ABCD四点共圆所以ECDEAF菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网所以BEFEAF5分又EFABFE所以EFABFE7分所以即EF2FBFA所以FG2EF2即EFFG10分点评本题主要是运用了切割线定理定理以及相似三角形知识属于基础题如何证三角形相似是解题的关键22选修42矩阵与变换已知矩阵在平面直角坐标系中设直线2xy10在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F求曲线F的方程考点矩阵变换的性质专题计算题分析先求MN再利用点xy在矩阵MN对应的变换作用下变为xy得出坐标之间的关系利用点xy在直线2xy10上即可求得曲线F的方程解答解由题设得MN3分设xy是直线2xy10上任意一点点xy在矩阵MN对应的变换作用下变为xy则有即所以7分因为点xy在直线2xy10上从而2xy10即2xy10所以曲线F的方程为2xy1010分点评本题考查矩阵变换考查矩阵的乘法考查代入法求曲线的方程属于基础题菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网23已知直线l的参数方程为t为参数P是椭圆上任意一点求点P到直线l的距离的最大值考点直线的参数方程点到直线的距离公式直线与圆锥曲线的关系专题计算题分析把参数方程化为普通方程求出点P到直线l的距离d令k即得d的最大值解答解直线l的参数方程为t为参数故直线l的普通方程为x2y0因为P为椭圆上任意点故可设P2cossin其中R因此点P到直线l的距离是d故当k时d取得最大值点评本题考查把参数方程化为普通方程的方法点到直线的距离公式的应用正弦函数的最值求出点P到直线l的距离d是解题的关键24不等式选讲已知ab为正数求证菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网考点不等式的证明专题证明题分析欲证即证ab9这个不等式的证明只要将左边展开利用基本不等式即可得到解答证明a0b0所以点评本题主要考查不等式的证明从已知条件出发利用定义公理定理某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理论证等而推导出所要证明的不等式这个证明方法叫综合法25已知圆F1x12y216定点F210动圆过点F2且与圆F1相内切1求点M的轨迹C的方程2若过原点的直线l与1中的曲线C交于AB两点且ABF1的面积为求直线l的方程考点圆与圆的位置关系及其判定专题计算题转化思想分析1设出M的半径依据题意列出关系MF1MF24可求轨迹C的方程2根据椭圆性质以及ABF1的面积为可以求得AB的坐标再求直线l的方程解答解1设圆M的半径为r因为圆过点F2且与圆F1相内切所以MF2r所以MF14MF2即MF1MF24所以点M的轨迹C是以F1F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为其中2a4c1所以所以曲线C的方程2因为直线l过椭圆的中心由椭圆的对称性可知因为所以不妨设点Ax1y1在x轴上方则菁优网httpwwwjyeoocomwwwjyeoocom20102012菁优网所以即点A的坐标为或所以直线l的斜率为故所求直线方和程为x2y0点评本题考查圆与圆的位置关系考查转化思想椭圆的定义是中档题26已知x1na0a1x1a2x12a3x13anx1nn2nN1当n5时求a0a1a2a3a4a5的值2设Tnb2b3b4bn试用数学归纳法证明当n2时考点二项式定理的应用数学归纳法专题综合题分析1通过给等式中的x赋值2求出展开式的系数和2将二项式的底数写成x12形式利用二项展开式的通项公式求出a2求出bn利用数学归纳证明等式解答解1当n5时原等式变为x15a0a1x1a2x12a3x13a4x14a5x15令x2得a0a1a2a3a4a5352432因为x1n2x1n所以a2Cn22n2当n2时左边T2b22右边左边右边等式成立假设当nkk2kN时等式成立即那么当nk1时左边右边故当nk1时等式成立综上当n2时点评本题考查赋值法是求展开式的系数和常用的方法考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题考查利用数学归纳法证明恒等式