2020版高中数学第三章概率3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义学案（含解析）新人教A版必修3.doc

3.1.1　随机事件的概率 3.1.2　概率的意义
学习目标
　1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义.2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.3.了解概率的意义以及频率与概率的区别．
知识点一　事件的有关概念 1．事件的分类及三种事件
2．对事件分类的两个关键点 (1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生． (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况． 思考　随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉？ 答案　不可以． 知识点二　概率与频率 1．频数与频率 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率． 2．概率 (1)含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量． (2)与频率联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 知识点三　概率的意义 1．概率的正确理解 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性． 2．实际问题中的几个实例 (1)游戏的公平性 ①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为eq \f(1,2)，所以这个规则是公平的． ②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则． (2)决策中的概率思想 如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则．这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一． (3)天气预报的概率解释 天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小． (4)试验与发现 概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律． (5)遗传机理中的统计规律 孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　√　) 2．小概率事件就是不可能发生的事件．(　×　) 3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．(　×　) 4．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　) 
题型一　事件的分类 例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件． (1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签； (2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大； (3)函数y＝logax(a＞0且a≠1)在其定义域内是增函数； (4)平行于同一直线的两条直线平行； (5)某同学竞选学生会主席成功． 解　(2)为不可能事件，(4)为必然事件，(1)(3)(5)为随机事件． 反思感悟　对事件分类的两个关键点 (1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生． (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况． 跟踪训练1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的内角和为180°； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上； (5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 解　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件． (2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件． (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件． (4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件． (5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件． (6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件． 题型二　试验结果分析 例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果． (1)抛掷两枚质地均匀的硬币； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集． 解　(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)． (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}． 反思感悟　(1)准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础． (2)在写试验结果时，一般采用列举法，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果不重不漏． 跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果． (1)从中任取1球；(2)从中任取2球． 解　(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种． (2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种． 题型三　利用频率估计概率 例3　下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率. 试验序号 抛掷的次数n 正面朝上的次数m “正面朝上”出现的频率 1 500 251 2 500 249 3 500 256 4 500 253 5 500 251 6 500 245 7 500 244 8 500 258 9 500 262 10 500 247 解　由fn(A)＝eq \f(m,n)可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5. 反思感悟　(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． (2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率． 跟踪训练3　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) 频数 48 121 208 频率 [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900，＋∞) 223 193 165 42 (1)求各组的频率； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率． 解　(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足1500小时的频率是eq \f(600,1000)＝0.6. 即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
概率的应用 典例　(1)某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种： A．猜“是奇数”或“是偶数”； B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题： ①如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？ ②为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？ (2)为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数． 解　(1)①为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为eq \f(8,10)＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B. ②为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性． (2)设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，先从水库中任捕一尾， 设事件A＝{带有记号的鱼}，易知P(A)＝eq \f(2000,n)，① 第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义可知P(A)＝eq \f(40,500)，② 由①②两式，得eq \f(2000,n)＝eq \f(40,500)， 解得n＝25000. 所以估计水库中约有鱼25000尾． [素养评析]　(1)由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率． (2)应用概率解决问题，其关键是收集和整理数据，处理数据，根据数据获得和解释结果，这些都是核心素养数据分析的主要表现．
1．下列事件： ①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②经过有信号灯的路口，遇上红灯； ③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品； ④下周六是晴天． 其中，是随机事件的是(　　) A．①②B．②③C．③④D．②④ 答案　D 解析　①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件． 2．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是(　　) A．3件都是正品 B．至少有一件是次品 C．3件都是次品 D．至少有一件是正品 答案　D 解析　12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D. 3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　) A．概率为eq \f(4,5) B．频率为eq \f(4,5) C．频率为8 D．概率接近于8 答案　B 解析　做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为eq \f(m,n).如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)为事件A的频率． 4．在10个学生中，男生有x人．现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件： ①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为________． 答案　3或4 解析　由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4. 5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表. 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 (1)请完成上述表格(保留3位小数)； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 解　(1)填入题表中的数据依次为1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903. 填表如下： 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1370 1786 2709 发芽的频率 1.000 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 (2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
1．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率． 2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大． 3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
一、选择题 1．今天北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列说法不正确的是(　　) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能不降雨 C．北京和上海今天都可能不降雨 D．北京今天降雨的可能性比上海大 答案　A 解析　北京降雨的概率大于上海降雨的概率，说明北京降雨的可能性比上海大，两个城市可能都降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨． 2．从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是(　　) A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 答案　C 解析　从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C. 3．下列现象： ①当x是实数时，x－|x|＝2； ②某班一次数学测试，及格率低于75%； ③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数； ④体育彩票某期的特等奖号码． 其中是随机现象的是(　　) A．①②③B．①③