一元二次函数知识点汇总.docx

 一元二次函数知识点汇总    一元二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果
是常数，
，那么
叫做
的一元二次函数. 2.二次函数
的性质 (1)抛物线

的顶点是原点，对称轴是
轴. (2)函数
的图像与
的符号关系： ①当
时
抛物线开口向上
顶点为其最低点；②当
时
抛物线开口向下
顶点为其最高点 3.二次函数
的图像是对称轴平行于(包括重合)
轴的抛物线. 4.二次函数
用配方法可化成：
的形式，其中
. 5.抛物线
的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①
决定抛物线的开口方向： 当
时，开口向上；当
时，开口向下；
越小，抛物线的开口越大，
越大，抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于
轴(或重合)的直线，记作
.特别地，
轴记作直线
. ③定点是抛物线的最值点[最大值( EMBED Equation.3 
时)或最小值( EMBED Equation.3 
时)]，坐标为( EMBED Equation.3 
, EMBED Equation.3 
)。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法： EMBED Equation.3 
，∴顶点是 EMBED Equation.3 
，对称轴是直线 EMBED Equation.3 
. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 EMBED Equation.3 
的形式，得到顶点为( EMBED Equation.3 
, EMBED Equation.3 
)，对称轴是 EMBED Equation.3 
. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 7.抛物线 EMBED Equation.3 
中， EMBED Equation.3 
的作用 (1) EMBED Equation.3 
决定开口方向及开口大小，这与 EMBED Equation.3 
中的 EMBED Equation.3 
完全一样. (2) EMBED Equation.3 
和 EMBED Equation.3 
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 EMBED Equation.3 
的对称轴是直线 EMBED Equation.3 
,故： ① EMBED Equation.3 
时，对称轴为 EMBED Equation.3 
轴；② EMBED Equation.3 
时,对称轴在 EMBED Equation.3 
轴左侧；③ EMBED Equation.3 
时,对称轴在 EMBED Equation.3 
轴右侧. (3) EMBED Equation.3 
的大小决定抛物线 EMBED Equation.3 
与 EMBED Equation.3 
轴交点的位置. 当 EMBED Equation.3 
时， EMBED Equation.3 
，∴抛物线 EMBED Equation.3 
与 EMBED Equation.3 
轴有且只有一个交点(0， EMBED Equation.3 
)：  EMBED Equation.3 
，抛物线经过原点; ② EMBED Equation.3 
,与 EMBED Equation.3 
轴交于正半轴；③ EMBED Equation.3 
,与 EMBED Equation.3 
轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在 EMBED Equation.3 
轴右侧，则  EMBED Equation.3 
. 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① EMBED Equation.3 
；② EMBED Equation.3 
；③ EMBED Equation.3 
；④ EMBED Equation.3 
；⑤ EMBED Equation.3 
. 图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标  EMBED Equation.3 
 当 EMBED Equation.3 
时 开口向上 当 EMBED Equation.3 
时 开口向下  EMBED Equation.3 
( EMBED Equation.3 
轴) (0,0)  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
( EMBED Equation.3 
轴) (0,  EMBED Equation.3 
)  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
 ( EMBED Equation.3 
,0)  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
 ( EMBED Equation.3 
, EMBED Equation.3 
)  EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
 ( EMBED Equation.3 
) 9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式： EMBED Equation.3 
.已知图像上三点或三对 EMBED Equation.3 
、 EMBED Equation.3 
的值，通常选择一般式. (2)顶点式： EMBED Equation.3 
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与 EMBED Equation.3 
轴的交点坐标 EMBED Equation.3 
、 EMBED Equation.3 
，通常选用交点式： EMBED Equation.3 
. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1) EMBED Equation.3 
轴与抛物线 EMBED Equation.3 
得交点为( EMBED Equation.3 
) (2)与 EMBED Equation.3 
轴平行的直线 EMBED Equation.3 
与抛物线 EMBED Equation.3 
有且只有一个交点( EMBED Equation.3 
, EMBED Equation.3 
). (3)抛物线与 EMBED Equation.3 
轴的交点 二次函数 EMBED Equation.3 
的图像与 EMBED Equation.3 
轴的两个交点的横坐标 EMBED Equation.3 
、 EMBED Equation.3 
，是对应一元二次方程  EMBED Equation.3 
的两个实数根.抛物线与 EMBED Equation.3 
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
抛物线与 EMBED Equation.3 
轴相交； ②有一个交点(顶点在 EMBED Equation.3 
轴上) EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
抛物线与 EMBED Equation.3 
轴相切； ③没有交点 EMBED Equation.3 
 EMBED Eq