高中数学不等式知识点及练习.docx

膈 高中数学不等式知识点及练习 肇知识点归纳: 袃一、不等式的概念与性质 腿1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 袀2、不等式的性质： 螆（1）
，
（反对称性） 袃（2）
，
（传递性） 薀（3）
，故
（移项法则） 芈推论：
（同向不等式相加） 薅（4）
，
羃推论1：
羁推论2：
羀推论3：
薈不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。 肃3、常用的基本不等式和重要的不等式 莂（1）
当且仅当
蒇（2）
莆（3）
，则
膃（4）
螂4、最值定理:设
腿（1）如积
膅（2）如积
芃即:积定和最小，和定积最大。 衿运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等
蚇5、均值不等式: 袄两个正数的均值不等式：
莃三个正数的均值不等是：
芀n个正数的均值不等式：
荿6、
四种均值的关系：两个正数
的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 羇小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点： 莂 1、不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c。 蚁 2、同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d, 螇但不能得a—c>b—d。 蚆 3、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正。 蒂不等式的应用范围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 肂二、不等式的证明方法 蕿（1）比较法：作差比较： EMBED Equation.3 
 蒅作差比较的步骤： 薂①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 蒃②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 羇③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 蒈注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 蚂（2）综合法：由因导果
由已知的不等式出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直到推导出前面的不等式。常用的基本不等式有?均值不等式；?若 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
，则 EMBED Equation.3 
；?若 EMBED Equation.3 
，则 EMBED Equation.3 
；④柯西不等式 EMBED Equation.3 
 薀（3）分析法：执果索因
基本步骤：要证……只需证……，只需证…… 蚈①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。 芇②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。 螂（4）反证法：正难则反
直接证明难，就用反证。 羁（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
莀放缩法的方法有： 肅①添加或舍去一些项，如： EMBED Equation.3 
； EMBED Equation.3 
； 袂②将分子或分母放大（或缩小） 莁③利用基本不等式， 袈如： EMBED Equation.3 
； 袄④利用常用结论： 羂Ⅰ、 EMBED Equation.3 
； 螂Ⅱ、 EMBED Equation.3 
 ；  EMBED Equation.3 
（程度大） 薀Ⅲ、 EMBED Equation.3 
 ； （程度小） 袇（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元 HYPERLINK 。
如： 羂已知 EMBED Equation.3 
，可设 EMBED Equation.3 
； 罿已知 EMBED Equation.3 
，可设 EMBED Equation.3 
( EMBED E