人教A版2019数学必修一4.5.3 函数模型的应用 学案（Word版含答案）.doc

函数模型的应用学习目标能利用已知函数模型求解实际问题能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题导语我们知道函数是描述客观世界变化规律的数学模型不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画面临一个实验问题该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢问题你能写出几种函数模型提示函数模型函数解析式一次函数模型为常数反比例函数模型为常数且二次函数模型为常数指数型函数模型为常数且对数型函数模型为常数且幂函数型模型为常数问题应用函数模型解决问题的基本过程是什么提示审题弄清题意分清条件和结论理顺数量关系初步选择模型建模将自然语言转化为数学语言将文字语言转化为符号语言利用数学知识建立相应的数学模型求模求解数学模型得出数学模型还原将数学结论还原为实际问题一应用已知函数模型解决实际问题例模型是常用数学模型之一可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位天的模型其中为最大确诊病例数当时标志着已初步遏制疫情则约为注为自然对数的底数答案解析则解得反思感悟利用已知函数模型解决实际问题首先确定已知函数模型解析式中的未知参数利用已知函数模型相关的运算性质函数性质解决实际问题涉及较为复杂的指数运算时常常利用等式的两边取对数的方法将指数运算转化为对数运算跟踪训练我们处在一个有声的世界里不同场合人们对声音的音量会有不同的要求音量大小的单位是分贝对于一个强度为的声波其音量的大小可由如下公式计算其中是人耳能听到的声音的最低声波强度设的声音强度为的声音强度为则是的倍倍倍倍答案解析由题意得则同理得所以二指数型函数模型例习近平总书记提出绿水青山就是金山银山的重要理念说明呵护地球人人有责某省为响应该理念计划每年都增长相同百分比的绿化面积且年时间绿化面积增长参考数据试求每年绿化面积的增长率按此增长率若年年初时该省的绿地面积是提出该理念时的倍请问习近平总书记最迟是哪一年首次提出该理念解设每年绿化面积的增长率为则则故每年绿化面积的增长率约为设经过年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍则则而因此习近平总书记最迟在年首次提出该理念反思感悟在实际问题中有关人口增长银行复利细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示通常可以表示为其中为基础数为增长率为时间的形式跟踪训练某公司为激励创新计划逐年加大研发资金投入若该公司年全年投入研发资金万元在此基础上每年投入的研发资金比上一年增长则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是参考数据年年年年答案解析设年后研发资金开始超过万元所以所以所以所以所以故年研发资金开始超过万元三对数型函数模型例技术的数学原理之一便是著名的香农公式它表示在受噪声干扰的信道中最大信息传递速率取决于信道带宽信道内信号的平均功率信道内部的高斯噪声功率的大小其中叫做信噪比按照香农公式若不改变带宽而将信噪比从提升至则大约增加了答案解析当时当时则又根据选项分析所以将信噪比从提升至大约增加了反思感悟对数型函数应用题的基本类型和求解策略基本类型有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式然后根据实际问题求解求解策略首先根据实际情况求出函数解析式中的参数或给出具体情境从中提炼出数据代入解析式求值然后根据数值回答其实际意义跟踪训练世纪年代里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度就是使用测震仪衡量地震能量的等级地震能量越大测震仪记录的地震曲线的振幅就越大这就是我们常说的里氏震级其计算公式为其中是被测地震的最大振幅是标准地震的振幅级地震给人的震感已经比较明显级地震的最大振幅是级地震最大振幅的倍倍倍倍答案解析设级地震最大振幅为则级地震最大振幅为则所以所以即所以级地震的最大振幅是级地震最大振幅的倍知识清单应用已知函数模型解决实际问题指数型函数模型对数型函数模型方法归纳转化法常见误区实际应用题易忘记定义域和结论我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说一尺之锤日取其半万世不竭用现代语言叙述为一尺长的木棒每天取其一半永远也取不完这样每天剩下的部分都是前一天的一半如果把一尺之锤看成单位那么天后剩下的部分与的函数关系式为答案下面给出了红豆生长时间月与枝数枝的散点图那么最能拟合诗句红豆生南国春来发几枝所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是指数函数对数函数幂函数二次函数答案解析由所给的散点图可得图象大约过所以该函数模型应为指数函数某位股民购进某只股票在接下来的交易时间内他的这只股票先经历了次涨停每次上涨又经历了次跌停每次下降则该股民这只股票的盈亏情况不考虑其他费用为略有亏损略有盈利没有盈利也没有亏损无法判断盈亏情况答案解析由题意可得因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数单位是其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时它的游速是答案解析当时某研究小组在一项实验中获得一组关于的数据将其整理得到如图所示的图形下列函数中最能近似刻画与之间关系的是答案某新款电视投放市场后第一个月销售了台第二个月销售了台第三个月销售了台第四个月销售了台则下列函数模型中能较好地反映销量与投放市场的月数之间关系的是答案解析将题目中的数据代入各函数中易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应某社区超市的某种商品的日利润单位元与该商品的当日售价单位元之间的关系为那么该商品的日利润最大时当日售价为元元元元答案解析所以当时取最大值在线直播带货已经成为一种重要销售方式假设直播在线购买人数单位人与某产品销售单价单位元满足关系式其中为常数当该产品销售单价为元时在线购买人数为假设该产品成本单价为元且每人限购件则下列说法错误的是实数的值为销售单价越低直播在线购买人数越多当的值为时利润最大利润最大值为答案解析因为在线购买人数单位人与某产品销售单价单位元满足关系式其单调递减所以正确将代入可得解得所以正确由题意可得所得利润为所以当时利润最大最大利润为元正确错误为捍卫国家主权和领土完整维护中华民族整体利益解放军组织多种战机巡航已知海面上的大气压强是大气压强单位和高度单位之间的关系为为自然对数的底数是常数根据实验知高空处的大气压强是则当歼战机巡航高度为歼战机的巡航高度为时歼战机所受的大气压强是歼战机所受的大气压强的倍精确度为答案解析依题意知即则歼战机所受的大气压强歼战机所受的大气压强所以歼战机所受的大气压强是歼战机所受的大气压强的倍故选多选如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间月的关系且以下叙述中正确的是这个指数函数的底数是第个月时浮萍的面积就会超过浮萍从蔓延到需要经过个月浮萍每个月增加的面积都相等答案解析将点代入中得所以所以正确当时所以错误当时当时所以浮萍从蔓延到需要经过个月所以正确由指数函数的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等所以错误某品牌笔记本电脑的成本不断降低若每隔年价格就降低则现在价格为元的笔记本电脑年后的价格将降为元答案解析年后的价格可降为元某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是其中为正常数由放射性元素的这种性质可以制造高精度的时钟用原子数表示时间为答案解析因为所以两边取以为底的对数所以英国物理学家和数学家牛顿年曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型如果物体的初始温度是环境温度是则经过时间后物体的温度将满足其中为正常数某冬晨警局接到报案在街头发现一位已经死亡的流浪者早上六点测量其体温为到早上七点时其体温下降到若假设室外温度约维持在且人体正常体温为请你运用牛顿冷却模型判定流浪汉在早上几点死亡解设流浪汉在早上时刻死亡根据牛顿冷却模型有即则解得所以可以判定流浪汉在早上点死亡据观测统计某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只并以平均每年的速度增加求两年后这种珍稀鸟类的大约个数写出珍稀鸟类的个数关于经过的年数的函数关系式约经过多少年以后这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上结果为整数参考数据解依题意得一年后这种鸟类的个数为两年后这种鸟类的个数为由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只并以平均每年的速度增加则所求的函数关系式为令得两边取常用对数得即因为所以所以因为所以故约经过年以后这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上某公司职工分别住在三个住宅区区有人区有人区有人三个区始终在同一直线上位置如图所示公司接送车筹划在此间只设一个停靠点要使所有职工步行到停靠点路程总和最少那么停靠点位置应在区区区两区之间答案解析由题意得若停靠在区所有员工路程和为米若停靠在区所有员工的路程和为米若停靠在区所有员工的路程和为米若停靠点在区和区之间设距离区为米所有员工的路程和为当时取得最小值故停靠点为区综上若停靠点为区所有员工步行到停靠点的路程和最小那么停靠点位置应在区某食品的保鲜时间单位小时与储藏温度单位满足函数关系为自然对数的底数为常数若该食品在的保鲜时间是在的保鲜时间是则该食品在的保鲜时间是答案解析由题意可知当时当时解得则当时一种药在病人血液中的量保持以上才有效现给某病人注射了这种药如果药在血液中以每小时的比例衰减为了充分发挥药物的利用价值那么从现在起经过小时向病人的血液补充这种药才能保持疗效附答案采取四舍五入精确到答案解析设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药才能保持疗效则即所以即光线通过一块玻璃其强度要失掉原来的要使通过玻璃的光线强度为原来的以下至少需要这样的玻璃板的块数为答案解析设至少需要块玻璃板由题意知即两边取对数即即为了预防某种病毒某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客身体健康的考虑相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克立方米时顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始商场内部的药物浓度毫克立方米与时间分钟之间的函数关系为函数的图象如图所示如果商场规定顾客可以进入商场那么开始喷洒药物的时间最迟是答案解析根据函数的图象可得函数的图象过点代入函数的解析式可得解得所以令可得或解得或所以如果商场规定顾客可以进入商场那么开始喷洒药物的时间最迟是金山银山不如绿水青山而且绿水青山就是金山银山某乡镇为创建绿色家园决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木已知这种树木自栽种之日起其生长规律为树木的高度单位米与生长年限单位年满足关系式树木栽种时的高度为米年后树木的高度达到米求的解析式问从栽种之日起第几年树木生长最快解由已知得即所以解得所以令问题化为当时求函数的最大值又当且仅当即时上式取等号又所以故从栽种之日起第年与第年树木生长最快