5.2.2排列数公式同步学案.doc

排列数公式教材要点要点排列数公式状元随笔排列的定义中包含两个基本内容一是取出元素二是按一定顺序排列一个排列就是完成一件事情的一种方法不同的排列就是完成一件事情的不同方法两个排列相同需要满足两个条件一是元素完全相同二是元素的排列顺序相同表示一个数且基础自测思考辨析正确的画错误的画由于排列数的阶乘式是一个分式所以其化简的结果不一定是整数若则某班从名运动员中选取名参加米接力赛有种不同的参赛方案可以表示为若则名男生和名女生排成一排男生不相邻的排法有种题型一排列数的计算例已知则的值为计算方法归纳排列数的计算方法排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行应用时注意连续正整数的积可以写成某个排列数其中最大的是排列元素的总个数而正整数因式的个数是选取元素的个数这是排列数公式的逆用应用排列数公式的阶乘形式时一般写出它们的式子后再提取公因式然后计算这样往往会减少运算量跟踪训练等于题型二排列的应用角度特殊元素或特殊位置问题例六人按下列要求站一横排分别有多少种不同的站法甲不站右端也不站左端甲乙站在两端甲不站左端乙不站右端状元随笔对于人站队问题由于有顺序所以是排列问题又由于安排甲乙时有限制所以这又是有限制条件的排列问题应先考虑特殊元素甲乙或特殊位置左右两端再考虑其他的情况方法归纳特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑以元素为主考虑即先安排特殊元素再安排其他元素以位置为主考虑即先安排特殊位置再安排其他位置用间接法解题先不考虑限制条件计算出排列总数再减去不符合要求的排列数以上三种思路可以简化如图当限制条件有两个或两个以上时若互不影响则直接按分步解决若相互影响则先分类然后在每一类中再分步解决跟踪训练从名短跑运动员中选出人参加接力赛甲不能跑第一棒和第四棒问共有种参赛方案角度相邻问题例已知共名同学按下列要求排列分别求出满足条件的排列方法数把这名同学安排到个空位上且必须相邻把这名同学安排到个空位上且必须相邻也必须相邻把这名同学安排到排成一排的个空位中的个空位上且必须相邻状元随笔符合捆绑法的要求可直接利用捆绑法解题由于必须相邻也必须相邻可考虑将二者各自视为整体先对这两个整体进行排列再对整体内部进行排列先把同学和座位绑到一起进行排列然后把剩余的空位插到中间捆绑法主要用于解决元素相邻的问题解题思路是先整体后局部由第题可知只要是相邻元素问题即使是受多个相邻条件限制的排列问题都可以采用捆绑法解题方法归纳解决相邻问题用捆绑法将个不同的元素排成一排其中个元素排在相邻位置上求不同排法的种数具体求解步骤如下先将这个元素捆绑在一起看成一个整体把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列其排列方法有种松绑即将捆绑在一起的元素内部进行排列其排列方法有种根据分步乘法计数原理符合条件的排法有种跟踪训练某单位安排位员工在月日至日值班每天安排人每人值班天若位员工中的甲乙排在相邻两天丙不排在月日丁不排在月日则不同的安排方案共有种种种种角度不相邻问题例已知五名同学按下列要求进行排列求所有满足条件的排列方法数把名同学排成一排且不相邻把名同学排成一排且都不与相邻把名同学安排到排成一排的个空位中的个空位上且不相邻状元随笔由于要求不相邻先将无限制条件的排列好然后将不相邻的插入已经排好的同学之间及两端也可用间接法进行计算先排不受限制的然后按要求将不相邻的插入已经排好的同学之间或两端再按要求把插入已经排好的同学之间或两端可以采用间接法进行计算即先不考虑限制条件进行排列然后减去不符合条件的排列方法数也可用直接法先排再对相邻和不相邻进行分类讨论方法归纳解决不相邻问题用插空法将个不同的元素排成一排其中个元素互不相邻求不同排法的种数具体求解步骤如下将没有不相邻要求的元素共个排成一排其排列方法有种将要求两两不相邻的个元素插入个空隙中相当于从个空隙中选出个分别分配给两两不相邻的个元素其排列方法有种根据分步乘法计数原理符合条件的排法种数为跟踪训练把椅子摆成一排人随机就座任何两人不相邻的坐法种数为角度定序问题例用组成没有重复数字的七位数若的顺序一定则有个七位数符合条件将这个字母排成一列要求在排列中的顺序为或可以不相邻这样的排列方法有种用数字作答方法归纳解决定序问题用倍缩法有个元素排成一列其中个元素之间的先后顺序确定不变将这个元素排成一列有种不同的排法然后任取一个排列固定其他个元素的位置不动把这个元素交换顺序有种排法其中只有一个排列是我们需要的因此共有种满足条件的不同排法跟踪训练中国诗词大会第二季亮点颇多十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下百人团齐声朗诵别有韵味若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场且将进酒排在望岳的前面山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后则后六场的排法有种种种种易错辨析忽略排列的有序性致错例人站成前后两排每排人其中甲乙两人必须在前排丙在后排则共有种排法解析先排甲乙有种排法再排丙有种排法其余人有种排法故不同排法共有种答案易错警示易错原因纠错心得求解本题时容易出现下列两种错解错解一甲乙两人在前排前排还少人从余下人不含丙中选人排在前排有种排法丙在后排余下的人有种排法故不同排法共有种错解二甲乙两人在前排有种排法再从余下人不含丙中选人排在前排有种排法其余人含丙在后排有排列问题中若对元素的位置没有要求则各元素间是有顺序之分的解题时要时刻把握这一原则种排法故不同排法共有种导致错解的原因是甲乙两人在前排但甲乙两人的位置不能确定需对甲乙两人的位置进行排列同样丙在后排丙的位置也不能确定丙的位置也需排列课堂十分钟信号兵用种不同颜色的旗子各一面每次打出面最多能打出不同的信号有种种种种从五人中选人分别参加数学和物理竞赛但不能参加物理竞赛则不同的选法有种种种种本不同的书摆放在书架的同一层上要求甲乙两本书必须摆放在两端丙丁两本书必须相邻则不同的摆放方法有种种种种把件不同产品摆成一排若产品与产品相邻且产品与产品不相邻则不同的摆法有种用这个数字组成没有重复数字的四位数这些四位数中偶数有多少个这些四位数中大于的有多少个排列数公式新知初探课前预习要点基础自测解析由排列数公式可知原式为答案解析因为所以所以有即解得故选答案解析名女生先排好有种排法让个男生去插空有种方法故共有种答案题型探究课堂解透例解析化简得所以故选解析方法一方法二方法三答案跟踪训练解析解析原式答案例解析方法一位置分析法因为甲不站左右两端故先从甲以外的个人中任选两人站在左右两端有种站法再让剩下的个人站在中间的四个位置上有种站法由分步乘法计数原理知共有种站法方法二元素分析法因为甲不能站左右两端故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上有种站法再让余下的个人站在其他个位置上有种站法由分步乘法计数原理知共有种站法方法三间接法在排列时我们对个人不考虑甲站的位置全排列有种站法但其中包含甲在左端或右端的情况因此减去甲站左端或右端的排列数于是共有种站法方法一元素分析法首先考虑特殊元素让甲乙先站两端有种站法再让其他个人在中间个位置全排列有种站法根据分步乘法计数原理共有种站法方法二位置分析法首先考虑两端两个位置由甲乙去站有种站法再考虑中间个位置由剩下的个人去站有种站法根据分步乘法计数原理共有种站法方法一间接法甲在左端的站法有种乙在右端的站法有种而甲在左端且乙在右端的站法有种故共有种站法方法二直接法从元素甲的位置进行考虑可分两类第类甲站右端有种站法第类甲站在中间个位置之一而乙不站在右端可先排甲后排乙再排其余个人有种站法故共有种站法跟踪训练解析方法一从人元素的角度考虑优先考虑甲分以下两类第类甲不参赛有种参赛方案第类甲参赛可优先将甲安排在第二棒或第三棒有种排法然后安排其他三棒有种排法此时有种参赛方案由分类加法计数原理可知甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有种方法二从位置角度考虑优先考虑第一棒和第四棒则这两棒可以从除甲外的人中选人有种选法其余两棒从剩余人中选有种选法由分步乘法计数原理可知甲不能跑第一棒和第四棒参赛方案共有种方法三间接法不考虑甲的约束条件有种安排方法甲跑第一棒或第四棒有种安排方法所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有种故选答案例解析第一步把这名同学看作一个整体和共四个元素进行排列其排列方法有种第二步对捆绑到一起的这个元素进行内部排列即松绑其排列方法有种第三步根据分步乘法计数原理知符合题意的排列方法有种第一步把这名同学看作一个整体把这名同学看成一个整体故这两个整体排成一列的方法有种第二步对捆绑到一起的这个元素进行内部排列即松绑其排列方法有种对捆绑到一起的这个元素进行内部排列即松绑其排列方法有种第三步根据分步乘法计数原理知符合题意的排列方法有种第一步先看成这名同学带着座位排列而且满足相邻的要求由可知其排列方法有种第二步把剩下的个空位往已经坐好的名同学中间包括两端插空且不能插在之间其排列方法有种第三步根据分步乘法计数原理知符合题意的排列方法有种跟踪训练解析依题意满足甲乙两人值班安排在相邻两天的方案共有种其中满足甲乙两人值班安排在相邻两天且丙在月日值班的方案共有种满足甲乙两人值班安排在相邻两天且丁排在月日值班的方案共有种满足甲乙两个值班安排在相邻两天且丙在月日值班丁在月日值班的方案共有种因此满足题意的方案共有种故选答案例解析方法一第一步先排不受限制的同学其排列方法有种第二步由于已经排好的间包括两端形成了个空把有限制条件不相邻的同学插到这个空中其排列方法有种由分步乘法计数原理知满足条件的排列方法有种方法二先不考虑不相邻这个限制条件把名同学全排列有种排列方法其中相邻的排列方法有种故满足条件的排列方法有种第一步先排不受限制的同学其排列方法有种第二步由于已经排好的之间包括两端形成了个空把有限制条件不相邻的同学插到这个空中共有排列方法种第三步由于已经排好的之间包括两端形成了个空但由于不能与相邻所以把插入已经排好的中时只有种选择其排列方法有种由分步乘法计数原理知符合条件的排列方法有种方法一间接法先不考虑不相邻这个限制条件把名同学安排到个空位中的个空位上其排列方法有种把名同学安排到个空位中的个空位上且相邻的排列方法有种所以满足条件的排列方法有种方法二直接法先排再将剩余的空位插到中间当不相邻时由知其排列方法有种然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中有种插入的方法由分步乘法计数原理知其排列方法有种当相邻时其排列方法有种然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中欲使不相邻其插入方法只有种故其排列方法有种由分类加法计数原理知共有种排列方法跟踪训练解析先把三把椅子隔开摆好它们之间和两端共有个位置再把三人带椅子插在这四个位置中共有种放法故选答案例解析若的顺序任意则排法有种而的顺序一定的排法数占总排法数的故符合条件的七位数有个解析方法一整体法个元素无约束条件的全排列有种排法由于字母的排列顺序为或因此在上述的全排列中恰好符合或的排列方法有种方法二插空法若字母的排列顺序为将字母插入这时形成的个空中分两类第一类若字母相邻则有种排法第二类若字母不相邻则有种排法则不同的排列方法有种同理字母的排列顺序为也有种不同的排列方法因此满足条件的排列方法有种答案跟踪训练解析第步将山居秋暝与送杜少府之任蜀州之外的四首诗词进行排列由于将进酒排在望岳前面故不同排法有种第步排山居秋暝与送杜少府之任蜀州由于第步中的首诗词排好后不含最后有个空位在个空位中任选个安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州安排方法有种由分步乘法计数原理知后六场的排法有种故选答案课堂十分钟解析答案解析先选一人参加物理竞赛有种方法再从剩下的人中选人参加数学竞赛有种方法共有种方法答案解析第步甲乙两本书必须摆放在两端有种不同的摆放方法第步丙丁两本书视为整体与其他两本共三本有种不同的摆放方法根据分步乘法计数原理共有种不同的摆放方法答案解析先将捆绑在一起有种摆法再将它们与其他件产品全排列有种摆法共有种摆法而这件产品在一起且相邻相邻有种摆法故相邻不相邻的摆法有种答案解析偶数的个位数只能是有种排法其他位上有种排法由分步乘法计数原理知共有四位偶数个最高位上是时大于有种最高位上是时百位上只能是或故有种由分类加法计数原理知这些四位数中大于的共有个