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上传于：2024-06-14
5.3.2命题、定理、证明
一、基本概念
1、表示判断的语句叫做命题
2、命题由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。这样的命题通常写成“如果……，那么……”的形式。用“如果”开始的部分就是条件，而用“那么”开始的部分就是结论。
3、如果条件成立，那么结论也一定成立，这样的命题叫做真命题；
如果条件成立，但结论不一定成立，这样的命题叫做假命题；
要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了。
4、基本事实与定理：
基本事实是人们在长期的实践中总结出来的公认的正确的命题，是不需要证明的，可以作为判定其他命题真假的依据。
定理是经过推理论证是正确的命题，也可作为判定其他命题真假的依据。
5、证明：
根据条件、定义以及已经被确认的基本事实、定理等，经过逻辑推理，来判断—个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。证明真命题的一般步骤是：①根据题意，画出图形；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。
二、典例分析
例．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠1．请问：AD平分∠BAC吗?若平分，请说明理由．
【答案】AD平分∠BAC，详见解析
【分析】
利用平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到AD∥EG，再利用平行线的性质和已知条件求出∠CAD=∠BAD即可．
【详解】
解： AD平分∠BAC．理由如下：
∵ AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC=∠EGC=90°．
∴AD//EG，
∴∠1=∠BAD，∠E=∠CAD．
∵∠1=∠E，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】
本题的关键是灵活应用平行线的性质及角平分线的定义，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
三、针对训练
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
2．命题“等角的余角相等”中的余角是（ ）
A．结论的一部分
B．题设的一部分
C．既不属于结论也不属于题设
D．同属于题设和结论部分
3．命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（ ）
A．如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0
C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0
4．可以用来说明“若，则．”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，但定理未必是命题 B．公理和定理都是真命题
C．定理和命题一样，有真有假 D．“取线段AB的中点C”是一个真命题
6．将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式_________．
7．把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__________________．
8．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：___________________．
9．阅读下列语句：①对顶角不相等；②明天可能会下雨；③同位角相等；④画的平分线；⑤这个角等于吗？在这些语句是，属于命题的是________（填写序号），真命题个数是________．
10．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是________．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就________的命题，相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论________的命题．
11．给出下列语句，先判断是否为命题，如果是命题请指明其题设和结论．
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）直角都相等；
（3）画直线AB；
（4）凡内错角都相等．
12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）对顶角相等；
（3）同角的余角相等．
13．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的?
①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
14．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
15．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
针对训练解析
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
【答案】A
【分析】
根据对顶角相等，两点之间，线段最短，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补进行判断求解即可．
【详解】
解：A、对顶角相等，是真命题，符合题意；
B、两点之间，直线最短，是假命题，应该是两点之间，线段最短，不符合题意；
C、同位角相等，是假命题，应该是两直线平行，同位角相等，不符合题意；
D、同旁内角互补，是假命题，应该是两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了判断命题真假，解题的关键在于能够熟知相关定义和定理．
2．命题“等角的余角相等”中的余角是（ ）
A．结论的一部分
B．题设的一部分
C．既不属于结论也不属于题设
D．同属于题设和结论部分
【答案】B
【分析】
根据命题题设与结论的定义：题设是已知事项，结论是已知事项推出的事项，进行逐一判断即可．
【详解】
解：“等角的余角相等”中题设是：两个等角的余角，结论是：相等，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了命题的题设与结论，熟知定义是解题的关键．
3．命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（ ）
A．如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0
C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0
【答案】B
【分析】
根据互逆命题概念解答即可．
【详解】
解：命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＜0，b＜0”，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
4．可以用来说明“若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ．”是假命题的反例是（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4
【答案】C
【分析】
若 EMBED Equation.DSMT4 ，则包括 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 ，由此分析即可．
【详解】
解：∵ EMBED Equation.DSMT4 ，
∴ EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 ，
∴反例可为 EMBED Equation.DSMT4 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的判断，以及等式的性质，掌握举例证明命题真假的方法以及等式的性质是解题关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，但定理未必是命题 B．公理和定理都是真命题
C．定理和命题一样，有真有假 D．“取线段AB的中点C”是一个真命题
【答案】B
【分析】
命题是判断一件事情的句子，可分为真命题和假命题；公认的真命题称之为公理，经过证明的真命题称之为定理；命题的结构必须有条件和结论，由此进行分析判断即可得到答案．
【详解】
解：A、说法错误，定理是经过证明的真命题，但是命题不一定是定理；
B、说法正确，公理和定理都是真命题；
C、说法错误，定理是经过证明的真命题，命题有真假之分；
D、说法错误，取线段AB的中点C是描述性语言，不是命题，更不是真命题．
故选：B
【点睛】
本题考查命题的定义、公理和定理的概念等相关知识点，牢记定义内容是解此类题的关键．
6．将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式_________．
【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半
【分析】
由题意将命题的条件改成如果的内容，将命题的结论改为那么的内容进行分析即可．
【详解】
解：将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半．
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半．
【点睛】
本题主要考查命题与定理，理解“如果…那么…”的意义并找到命题的条件和结论是解题的关键．
7．把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__________________．
【答案】如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行
【分析】
先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写在如果的后面，结论部分写在那么的后面．
【详解】
解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．
【点睛】
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；解题的关键是掌握命题由题设和结论两部分组成．
8．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：______．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】
先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【详解】
解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
9．阅读下列语句：①对顶角不相等；②明天可能会下雨；③同位角相等；④画 EMBED Equation.DSMT4 的平分线 EMBED Equation.DSMT4 ；⑤这个角等于 EMBED Equation.DSMT4 吗？在这些语句是，属于命题的是________（填写序号），真命题个数是________．
【答案】①③ 0
【分析】
由题意根据命题的定义即对一件事情做出判断的语句叫命题以及正确的命题叫真命题进行分析判断即可．
【详解】
解：①对顶角不相等，是假命题；②明天可能会下雨，没有明确做出判断不是命题；③同位角相等，是假命题；④画 ∠AOB 的平分线 OC，没有明确做出判断不是命题 ；⑤这个角等于 30° 吗？没有明确做出判断不是命题.
故答案为：①③；0.
【点睛】
本题考查的是命题的定义以及命题的真假判断，注意对一件事情做出判断的语句才叫命题以及判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是________．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就________的命题，相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论________的命题．
【答案】题设 结论 成立 一定成立
【分析】
根据命题的概念解答即可．
【详解】
命题通常写成“如果……，那么……”的形式，
“如果”后接的部分是题设；
“那么”后接的部分是结论；
所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就成立的命题；
所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题，
故答案为：题设，结论，成立，一定成立．
【点睛】
本题主要考查命题的概念，属于基础题，只要掌握命题的概念即可．
11．给出