1.1.1数列的概念 学案.doc

 第一章 数列 §1　数列的概念及其函数特性 最新课程标准 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是一种特殊函数． 学科核心素养 1.了解数列的相关概念．(数学抽象) 2．了解数列的函数特性、数列的通项公式．(数学抽象) 3．能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(逻辑推理、数学建模) 1.1　数列的概念
[教材要点] 要点一　数列的有关概念及表示方法 1．数列的有关概念 (1)数列：按________排列的一列数叫作数列． (2)数列的项：数列中的________叫作这个数列的项． 2．数列的表示方法 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的________；an是数列的第n项，也叫数列的________． 状元随笔　(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. (2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． 要点二　数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列：项数________的数列； (2)无穷数列：项数________的数列． 状元随笔　有穷数列与无穷数列的表示方法： (1)有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am，…. (2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾. 要点三　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项________与________之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 状元随笔　(1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝−1，n=2k−1，1，n=2k(k∈N*)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1){0，1，2，3，4}是有穷数列．(　　) (2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．(　　) (3)所有自然数能构成数列．(　　) (4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.(　　) 2．(多选题)数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为(　　) A．an＝(－1)n－1 B．an＝(－1)n C．an＝cos nπ D．an＝sin nπ 3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　) A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 4．数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________．
题型一　数列的概念与分类 例1　(多选题)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 方法归纳 正确理解数列及相关概念，注意以下几点： (1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与顺序有关； (2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…，an，…}. 跟踪训练1　(多选题)下列说法正确的是(　　) A．数列{2n＋1}的第5项是10 B．数列1，12，13，…，1n，…可以记为1n C．数列3，5，7与数列5，7，3是相同的数列 D．数列1，2，3，4，5，…，n，…是无穷数列 题型二　根据数列的前几项写出通项公式 例2　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，12，－13，14； (2)3，3，15，21； (3)0.9，0.99，0.999，0.999 9； (4)3，5，3，5. 方法归纳 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 跟踪训练2　写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)112，223，334，445，…； (4)1，11，111，1 111，…. 题型三　数列通项公式的简单应用 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项． (2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果是，应是哪一项？ 变式探究　本例中，数列{an}中有多少个负数项？ 方法归纳 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝4n2+3n. (1)写出数列的第4项和第6项． (2)试问110是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 易错辨析　忽略了相邻正方形的公共边而致误 例4　图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.
通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为________________________________________________________________________． 解析：因为每两个相邻的正方形均有1条公共边， 所以第二个图形的火柴棒根数为2×3＋1. 第三个图形的火柴棒根数为3×3＋1. …… 第n个图形的火柴棒根数为3n＋1. 答案：3n＋1 【易错警示】 出错原因 纠错心得 每相邻的两个正方形都有公共边，第n个图形有n个正方形，火柴棒的根数是3n＋1而不是4n. 正确观察图形，看清图形间的内在联系，并找到相关规律，再进行归纳． [课堂十分钟] 1．数列0，－13，12，－35，23，…的通项公式为(　　) A．an＝(－1)n·n−2n+1 B．an＝(－1)n＋1·n−1n+2 C．an＝(－1)n－1·n−1n+1 D．an＝(－1)n－1·n−2n+2 2．在数列－1，0，19，18，…，n−2n2，…中0.08是它的(　　) A．第100项 B．第12项 C．第10项 D．第8项 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列结论正确的是(　　) A．第2项a2＝0 B．0不是数列中的一项 C．21是数列中的一项 D．42是数列中的一项 4．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，a2a3＝________． 5．写出数列an＝2nn+1的前5项，并用图象表示出来． 第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 新知初探·课前预习 要点一 1．(1)一定次序　(2)每一个数 2．首项　通项 要点二 (1)有限　(2)无限 要点三 an　n　an＝f(n)　 [基础自测] 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．答案：BC 3．解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121. ∴n＝11.故选C. 答案：C 4．解析：因为a1＝1＝1，a2＝2＝4， a3＝7，a4＝10，a5＝13，所以an＝3n−2， 所以a26＝3×26−2＝76＝219. 答案：2