2020年高考数学真题分类汇编专题04：数列.doc

116年高考数学真题分类汇编专题数列一单选题新课标文记为等比数列的前项和若则新课标文设是等比数列且则新课标理北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所分上中下三层上层中心有一块圆形石板称为天心石环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环向外每环依次增加块下一层的第一环比上一层的最后一环多块向外每环依次也增加块已知每层环数相同且下层比中层多块则三层共有扇面形石板不含天心石块块块块新课标理数列中若则北京在等差数列中记则数列有最大项有最小项有最大项无最小项无最大项有最小项无最大项无最小项浙江已知等差数列的前项和公差记下列等式不可能成立的是216二填空题新课标文记为等差数列的前项和若则新课标文数列满足前项和为则新高考将数列与的公共项从小到大排列得到数列则的前项和为江苏设是公差为的等差数列是公比为的等比数列已知数列的前项和则的值是浙江已知数列满足则三解答题新课标文设等比数列满足求的通项公式记为数列的前项和若求新课标理设数列满足计算猜想的通项公式并加以证明求数列的前项和新课标理设是公比不为的等比数列为的等差中项求的公比若求数列的前项和新高考已知公比大于的等比数列满足求的通项公式求新高考已知公比大于的等比数列满足求的通项公式记为在区间中的项的个数求数列的前项和316浙江已知数列中若数列为等比数列且公比且求与的通项公式若数列为等差数列且公差证明天津已知为等差数列为等比数列求和的通项公式记的前项和为求证对任意的正整数设为奇数为偶数求数列的前项和江苏已知数列的首项前项和为设与是常数若对一切正整数均有成立则称此数列为数列若等差数列是数列求的值若数列是数列且求数列的通项公式对于给定的是否存在三个不同的数列为数列且若存在求的取值范围若不存在说明理由北京已知是无穷数列给出两个性质对于中任意两项在中都存在一项使对于中任意项在中都存在两项使得若判断数列是否满足性质说明理由若判断数列是否同时满足性质和性质说明理由若是递增数列且同时满足性质和性质证明为等比数列416答案解析部分答案知识点等比数列的通项公式等比数列的前项和解析解答设等比数列的公比为由可得所以因此故答案为分析根据等比数列的通项公式可以得到方程组解方程组求出首项和公比最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可答案知识点等比数列的性质解析解答设等比数列的公比为则因此故答案为分析根据已知条件求得的值再由可求得结果答案知识点等差数列的通项公式等差数列的前项和解析解答设第环天石心块数为第一层共有环则是以为首项为公差的等差数列设为的前项和则第一层第二层第三层的块数分别为因为下层比中层多块所以即即解得所以故答案为516分析第环天石心块数为第一层共有环则是以为首项为公差的等差数列设为的前项和由题意可得解方程即可得到进一步得到答案知识点等比数列的通项公式等比数列的前项和数列的递推公式解析解答在等式中令可得所以数列是以为首项以为公比的等比数列则则解得故答案为分析取可得出数列是等比数列求得数列的通项公式利用等比数列求和公式可得出关于的等式由可求得的值答案知识点数列的函数特性等差数列的通项公式解析解答由题意可知等差数列的公差则其通项公式为注意到且由可知由可知数列不存在最小项由于故数列中的正项只有有限项故数列中存在最大项且最大项为故答案为分析首先求得数列的通项公式然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项答案知识点等差数列的通项公式数列的递推公式解析解答解在等差数列中616根据等差数列的性质可得正确若则成立正确若则即得符合正确若则即得不符合错误故答案为分析由已知利用等差数列的通项公式判断与由数列递推式分别求得分析成立时是否满足公差判断与答案知识点等差数列的通项公式等差数列的前项和解析解答是等差数列且设等差数列的公差根据等差数列通项公式可得即整理可得解得根据等差数列前项和公式可得故答案为分析因为是等差数列根据已知条件求出公差根据等差数列前项和即可求得答案答案知识点数列的求和数列的递推公式716解析解答当为奇数时当为偶数时设数列的前项和为故答案为分析对为奇偶数分类讨论分别得出奇数项偶数项的递推关系由奇数项递推公式将奇数项用表示由偶数项递推公式得出偶数项的和建立方程求解即可得出结论答案知识点等差数列的前项和等差关系的确定解析解答因为数列是以为首项以为公差的等差数列数列是以首项以为公差的等差数列所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以为首项以为公差的等差数列所以的前项和为故答案为分析首先判断出数列与项的特征从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差利用等差数列的求和公式求得结果答案知识点等差数列的前项和等比数列的前项和解析解答设等差数列的公差为等比数列的公比为根据题意等差数列的前项和公式为等比数列的前项和公式为依题意即816通过对比系数可知故故答案为分析结合等差数列和等比数列前项和公式的特点分别求得的公差和公比由此求得答案知识点数列的求和解析解答解数列满足可得所以故答案为分析求出数列的前项然后求解即可答案解设等比数列的公比为根据题意有解得所以解令所以根据可得整理得因为所以知识点等差数列的通项公式等差数列的前项和等比数列的通项公式解析分析设等比数列的公比为根据题意列出方程组求得首项和公比进而求得通项公式由求出的通项公式利用等差数列求和公式求得根据已知列出关于的等量关系式求得结果答案解由题意可得由数列的前三项可猜想数列是以为首项为公差的等差数列即证明如下当时成立916假设时成立那么时也成立则对任意的都有成立解由可知由得即知识点数列的求和数列的递推公式数学归纳法的原理解析分析利用递推公式得出猜想得出的通项公式利用数学归纳法证明即可由错位相减法求解即可答案解设的公比为为的等差中项解设的前项和为得知识点数列的求和等差数列的性质解析分析由已知结合等差中项关系建立公比的方程求解即可得出结论由结合条件得出的通项根据的通项公式特征用错位相减法即可求出结论答案解设等比数列的公比为则整理可得数列的通项公式为解由于故1016知识点等比数列的通项公式等比数列的前项和解析分析由题意得到关于首项公比的方程组求解方程组得到首项公比的值即可确定数列的通项公式首先求得数列的通项公式然后结合等比数列前项和公式求解其前项和即可答案解由于数列是公比大于的等比数列设首项为公比为依题意有解得解得或舍所以所以数列的通项公式为解由于所以对应的区间为则对应的区间分别为则即有个对应的区间分别为则即有个对应的区间分别为则即有个对应的区间分别为则即有个对应的区间分别为则即有个对应的区间分别为则即有个所以知识点等比数列的通项公式类比推理解析分析利用基本元的思想将已知条件转化为的形式求解出由此求得数列的通项公式通过分析数列的规律由此求得数列的前项和答案解由题意1116整理得解得舍去或数列是以为首项为公比的等比数列则各项相加可得证明依题意由可得两边同时乘以可得数列是一个常数列且此常数为1216故得证知识点等比数列概念与表示等比数列的通项公式数列的递推公式反证法与放缩法解析分析本题第题先根据等比数列的通项公式将代入计算出公比的值然后根据等比数列的定义化简可得则可发现数列是以为首项为公比的等比数列从而可得数列的通项公式然后将通项公式代入可得再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列的通项公式第题通过将已知关系式不断进行转化可构造出数列且可得到数列是一个常数列且此常数为从而可得再计算得到根据等差数列的特点进行转化进行裂项在求和时相消最后运用放缩法即可证明不等式成立答案解设等差数列的公差为等比数列的公比为由可得从而的通项公式为由又可得解得从而的通项公式为证明由可得故从而所以当为奇数时当为偶数时对任意的正整数有和由得1316由得由于从而得因此所以数列的前项和为知识点等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和解析分析由题意分别求得数列的公差公比然后利用等差等比数列的通项公式得到结果利用的结论首先求得数列前项和然后利用作差法证明即可分类讨论为奇数和偶数时数列的通项公式然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值据此进一步计算数列的前项和即可答案解解解假设存在三个不同的数列为数列或或对于给定的存在三个不同的数列为数列且或有两个不1416等的正根可转化为不妨设则有两个不等正根设当时即此时对满足题意当时即此时对此情况有两个不等负根不满足题意舍去综上知识点数列的求和数列的递推公式解析分析根据定义得再根据和项与通项关系化简得最后根据数列不为零数列得结果根据定义得根据平方差公式化简得求得即得根据定义得利用立方差公式化简得两个方程再根据方程解的个数确定参数满足的条件解得结果答案解不具有性质具有性质具有性质解法一首先证明数列中的项数同号不妨设恒为正数显然假设数列中存在负项设第一种情况若即由可知存在满足存在满足由可知从而与数列的单调性矛盾假设不成立1516第二种情况若由知存在实数满足由的定义可知另一方面由数列的单调性可知这与的定义矛盾假设不成立同理可证得数列中的项数恒为负数综上可得数列中的项数同号其次证明利用性质取此时由数列的单调性可知而故此时必有即最后用数学归纳法证明数列为等比数列假设数列的前项成等比数列不妨设其中的情况类似由可得存在整数满足且由得存在满足由数列的单调性可知由可得由和式可得结合数列的单调性有注意到均为整数故代入式从而总上可得数列的通项公式为即数列为等比数列解法二假设数列中的项数均为正数首先利用性质取此时1616由数列的单调性可知而故此时必有即即成等比数列不妨设然后利用性质取则即数列中必然存在一项的值为下面我们来证明否则由数列的单调性可知在性质中取则从而与前面类似的可知则存在满足若则与假设矛盾若则与假设矛盾若则与数列的单调性矛盾即不存在满足题意的正整数可见不成立从而同理可得从而数列为等比数列同理当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负不会同时出现正数和负数从而题中的结论得证数列为等比数列知识点数列的递推公式分析法的思考过程特点及应用反证法解析分析根据定义验证即可判断根据定义逐一验证即可判断解法一首先证明数列中的项数同号然后证明最后用数学归纳法证明数列为等比数列即可解法二首先假设数列中的项数均为正数然后证得成等比数列之后证得成等比数列同理即可证得数列为等比数列从而命题得证