湖南省邵阳市2021-2022学年高三上学期数学第一次联考试卷.doc

124湖南省邵阳市学年高三上学期数学第一次联考试卷一单选题邵阳模拟已知全集集合则等于邵阳模拟已知为虚数单位复数满足则的共轭复数邵阳模拟哥德巴赫猜想是近代三大数学难题之一其内容是任意一个大于的偶数都可以写成两个素数质数之和也就是我们所谓的问题它是年由数学家哥德巴赫提出的我国数学家潘承洞王元陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩若将拆成两个正整数的和则拆成的和式中加数全部为素数的概率为邵阳模拟已知函数是偶函数则的最小值是邵阳模拟在平行四边形中则邵阳模拟国庆长假过后学生返校某学校为了做好防疫工作组织了个志愿服务小组分配到个大门进行行李搬运志愿服务若每个大门至少分配个志愿服务小组每个志愿服务小组只能在个大门进行服务则不同的分配方法种数为邵阳模拟双曲线左右焦点分别为过作垂直于轴的直线交双曲线于两点的内切圆圆心为的内切圆圆心为则四边形的面积是邵阳模拟高斯是德国著名的数学家近代数学奠基者之一享有数学王子的称号设用表示不超过的最大整数则称为高斯函数已知数列满足且224若数列的前项和为则二多选题邵阳模拟给出下列命题其中正确的命题有是的必要不充分条件已知命题则若随机变量则已知随机变量且则邵阳模拟已知函数的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为的等差数列函数的图像关于原点对称则在在单调递增把的图像向右平移个单位即可得到的图像若在上有且仅有两个极值点则的取值范围为邵阳模拟双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用比如悬链桥在数学中双曲函数是一类与三角函数类似的函数最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数下列结论正确的是若与双曲余弦函数和双曲正弦函数共有三个交点分别为则是一个偶函数且存在最小值邵阳模拟如图点是棱长为的正方体的表面上一个动点则324当在平面上运动时四棱锥的体积不变当在线段上运动时与所成角的取值范围是当直线与平面所成的角为时点的轨迹长度为若是的中点当在底面上运动且满足平面时长度的最小值是三填空题邵阳模拟已知则邵阳模拟的展开式中项的系数为邵阳模拟已知为坐标原点过点的直线与抛物线交于两点设直线的斜率分别为若则的值为邵阳模拟已知是平面向量与是单位向量且若则的最小值为四解答题邵阳模拟在中若边对应的角分别为且求角的大小若求的长度邵阳模拟已知数列的前项和为且是公差不为的等差数列且成等比数列成等差数列求的通项公式若求的前项和邵阳模拟如图在空间几何体中已知均为边长为424的等边三角形平面和平面都与平面垂直为的中点证明平面求直线与平面所成角的正弦值邵阳模拟年东京奥运会中国举重代表队共人其中主教练教练各人参赛选手人赛后结果金银在全世界面前展现了真正的中国力量举重比赛根据体重进行分级某次举重比赛中男子举重按运动员体重分为下列十级级别公斤级公斤级公斤级公斤级公斤级体重级别公斤级公斤级公斤级公斤级公斤级以上体重每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分最后综合两部分的成绩得出总成绩所举重量最大者获胜在该次举重比赛中获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表体重举重成绩参考数据参考公式根据表中的数据求出运动员举重成绩与运动员的体重的回归直线方程保留位小数某金牌运动员抓举成绩为公斤挺举成绩为公斤则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重524凯旋回国后中央一台记者从团队的人中随机抽取人进行访谈用表示抽取到的是金牌得主的人数求的概率分布列与数学期望邵阳模拟已知圆点是圆上一动点若线段的垂直平分线与线段相交于点求点的轨迹方程已知为点的轨迹上三个点不在坐标轴上且求的值邵阳模拟已知函数讨论函数的零点个数若函数存在两个不同的零点证明624答案解析部分答案知识点交并补集的混合运算解析解答因为所以于是故答案为分析利用已知条件结合指数函数的单调性进而求出集合再利用交集和补集的运算法则进而求出集合答案知识点复数的基本概念复数代数形式的乘除运算复数的模解析解答故答案为分析利用已知条件结合复数求模公式和复数的乘除法运算法则进而求出复数再利用复数与共轭复数的关系从而求出复数的共轭复数答案知识点古典概型及其概率计算公式解析解答共有个和式其中加数全部为素数为共个基本事件故答案为分析利用已知条件结合古典概型求概率公式进而求出拆成的和式中加数全部为素数的概率答案知识点偶函数基本不等式在最值问题中的应用解析解答因为函数是偶函数724所以因为所以即当且仅当时取等号故答案为分析利用已知条件结合偶函数的定义再利用指数幂的运算法则得出的值再利用均值不等式求最值的方法从而得出的最小值答案知识点平面向量的基本定理平面向量数量积的坐标表示平面向量的数量积运算解析解答故答案为分析利用已知条件结合三角形法则和平行四边形法则再结合数量积求向量的模的公式再利用数量积的运算法则进而求出数量积的值即求出的值答案知识点简单计数与排列组合解析解答人分成组有两种方案共有种方法组分配到个大门有种方法根据乘法原理不同的分配方法数为故答案为分析利用已知条件结合组合数公式和排列数公式再结合分步乘法计数原理进而求出不同的分配方法种数824答案知识点双曲线的简单性质直线与圆锥曲线的综合问题解析解答如图因为圆分别为与的内切圆轴所以由题意所以由通径可得再由双曲线的定义可知设圆圆的半径为由等面积法可得即得所以故四边形的面积为故答案为分析利用圆分别为与的内切圆轴所以由题意再结合焦距的定义得出的值由通径可得的值再由双曲线的定义可知的值设圆圆的半径为由等面积法结合三角形的面积公式可得圆圆的半径再结合圆心距公式得出的值再结合三角形的面积公式得出四边形的面积答案知识点数列的概念及简单表示法数列的求和解析解答由可得根据累加法可得所以924故当时当时当时当时因此故答案为分析利用已知条件结合递推关系变形再结合累加法得出数列的通项公式再利用表示不超过的最大整数则称为高斯函数从而结合分类讨论的方法得出数列的通项公式再结合分组求和法得出数列的前项和答案知识点必要条件充分条件与充要条件的判断离散型随机变量的期望与方差二项分布正态密度曲线的特点概率的应用解析解答若则若则从而是的充分不必要条件不符合题意由特称命题的否定的概念可知符合题意因为所以符合题意结合已知条件可知正态曲线关于对称又因为从而解得符合题意故答案为分析利用已知条件结合充分条件必要条件的判断方法从而推出是的充分不必要条件利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系进而写成命题的否定再利用随机变量服从二项分布从而求出随机变量的数学期望再由随机变量服从正态分布结合正态分布对应的函数的图象的对称性再利用已知条件求概率的方法从而求出的值进而找出正确命题的选项答案知识点全称量词命题函数在某点取得极值的条件正弦函数的性质函数的图象变换解析解答由题意可知函数两个相邻的零点之差的绝对值为设函数的周期为则即即1024又又函数的图像关于原点对称即为奇函数又因为对于结合正弦函数性质知在在不单调不符合题意对于函数的值域为函数的值域为所以符合题意对于的图像向右平移个单位得到不符合题意对于利用正弦函数的性质知要使函数在上有且仅有两个极值点则需满足解得所以的取值范围为符合题意故答案为分析由题意可知函数两个相邻的零点之差的绝对值为设函数的周期为再利用正弦型函数的最小正周期公式结合进而求出的值从而求出正弦型函数的解析式即再结合辅助角公式得出函数的解析式即再利用函数的图像关于原点对称结合奇函数的图象的对称性所以函数为奇函数再利用奇函数的定义结合从而求出的值从而求出函数的解析式进而求出函数的解析式再利用正弦型函数的图象判断出正弦型函数在上的单调性再利用函数的值域为函数的值域为所以再结合正弦型函数的图像变换得出函数的图象利用的取值范围得出的取值范围即再利用正弦函数的性质结合函数极值点的求解方法知要使函数在上有且仅有两个极值点则需满足从而求出实数1124的取值范围进而找出正确的选项答案知识点奇偶性与单调性的综合利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数最大小值解析解答对于选项设当时函数单调递减当时函数单调递增所以所以选项正确对于选项选项正确对于选项是一个偶函数且在为减函数为增函数所以时取最小值选项正确对于选项函数单调递增且值域为若与双曲余弦函数和双曲正弦函数共有三个交点则由双曲余弦函数为偶函数得由得所以选项错误故答案为分析利用已知条件结合双曲函数的定义再利用设再结合求导的方法判断函数的单调性进而求出函数的最小值所以再利用双曲函数的定义结合代入法得出再结合偶函数的性质和减函数的性质进而求出当时取最小值利用函数单调递增且值域为若与双曲余弦函数和双曲正弦函数共有三个交点从而求出实数的取值范围由双曲余弦函数为偶函数结合偶函数的定义得出的值由得从而得出进而找出结论正确的选项答案知识点平面向量数量积的坐标表示模夹角棱柱棱锥棱台的体积异面直线及其所成的角直线与平面平行的性质直线与平面所成的角解析解答当在平面上运动时点到面的距离不变正方形不变1224故四棱锥的体积不变符合题意建立如图所示空间直角坐标系设则设与所成的角为则因为当时当时则综上所以与所成角的取值范围是不符合题意因为直线与平面所成的角为若点在平面和平面内因为最大不成立在平面内点的轨迹是在平面内点的轨迹是在平面时如图所示作平面因为所以1324又所以则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的四分之一圆所以点的轨迹长度为所以点的轨迹总长度为符合题意建立如图所示空间直角坐标系设则设平面的一个法向量为则即令则因为平面所以即所以当时等号成立不符合题意故答案为分析当在平面上运动时点到面的距离不变再利用正方形的面积公式得出正方形不变再利用四棱锥的体积公式得出四棱锥的体积不变利用已知条件建立空间直角坐标系设从而求出点的坐标再结合向量的坐标表示求出向量的坐标设与所成的角为再利用数量积求向量夹角公式得出再利用结合分类讨论的方法和代入法以及二次函数的图象求最值的方法得出与1424所成角的取值范围再利用直线与平面所成的角为若点在平面和平面内再利用最大不成立在平面内点的轨迹是在平面内点的轨迹是在平面时作平面再利用所以再结合所以则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的四分之一圆再利用圆的周长公式得出点的轨迹长度再结合求和法得出点的轨迹总长度利用已知条件建立空间直角坐标系设从而求出点的坐标再结合向量的坐标表示得出向量的坐标再结合平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量即再利用平面结合数量积为两向量垂直的等价关系再结合数量积的坐标表示得出再利用向量的模的坐标表示结合二次函数的图象求最值的方法进而求出长度的最小值从而找出正确的选项答案知识点两角和与差的正切公式同角三角函数基本关系的运用解析解答解得解得故答案为分析利用已知条件结合两角差的正切公式进而得出的值再利用结合同角三角函数基本关系式得出的值答案知识点二项式定理的应用解析解答的展开式中含的项为1524的展开式中项的系数为故答案为分析利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式再利用通项公式得出的展开式中项的系数答案知识点直线与圆锥曲线的综合问题解析解答因为直线过点所以设直线方程为由得所以又因为点在抛物线上所以所以即即因为所以即故答案为分析利用直线过点再结合点斜式设出直线方程再转化为直线的斜截式方程即直线方程为再利用直线与抛物线相交联立二者方程结合韦达定理得出再利用点在抛物线上结合代入法所以所以即再利用所以进而求出的值答案知识点圆方程的综合应用解析解答如下图所示1624设且点在以为圆心为直径的圆上又当点为圆和线段的交点的时候最短故答案为分析设再利用且再结合因式分解的方法和两向量垂直数量积为的等价关系所以点在以为圆心为直径的圆上再利用三角形法则得出当点为圆和线段的交点的时候最短再结合向量的模求解公式进而求出的最小值答案解因为由正弦定理可得在即又1724解且知识点平面向量数量积的坐标表示模夹角平面向量的数量积运算简单的三角恒等变换正弦定理解析分析利用已知条件结合正弦定理得出在所以再结合辅助角公式得出的值再利用三角形中角的取值范围进而求出角的取值范围进而求出角的值利用已知条件结合三角形法则和向量共线定理得出且再结合平面向量基本定理得出再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义进而求出向量的模即求出的长答案解当两式相减可得由代入可得满足所以为等比数列不妨设等差数列公差为由条件可得即解得所以解由可知1824知识点等差数列概念与表示等差数列的通项公式等比数列概念与表示等比数列的通项公式数列的求和解析分析利用已知条件结合的关系式再结合分类讨论的方法和等比数列的定义从而判断出数列为等比数列再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式再结合已知条件结合等比中项公式合等差中项公式再利用等差数列的通项公式从而求出等差数列的首项和公差再利用等差数列的通项公式进而求出数列的通项公式利用求出的数列的通项公式结合从而求出数列的通项公式再利用裂项相消的方法进而求出数列的前项和答案证明分别取的中点连接因为所以又平面平面平面平面平面所以平面同理平面所以又因为是全等的正三角形所以所以四边形是平行四边形所以因为平面平面所以平面解连接则易知平面以为坐标原点分别以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系1924则所以设平面的法向量为所以所以则取则所以设直线与平面所成的角为则知识点直线与平面平行的判定用空间向量研究直线与平面所成的角解析分析分别取的中点连接再利用结合等腰三角形三线合一所以再利用平面平面结合面面垂直的性质定理得出线面垂直所以平面同理平面所以再利用三角形是全等的正三角形所以所以四边形是平行四边形所以再利用线线平行证出线面平行从而证出平面连接则易知平面以为坐标原点分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系从而求出点的坐标再结合向量的坐标表示求出向量的坐标再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式进而求出直线与平面所成的角答案解依题意2024则故回归方程为解该运动员的抓举和挺举的总成绩为公斤根据回归方程可知解得即该运动员的体重应该在公斤左右即参加的应该是公斤级举重解随机变量的取值为则所以随机变量的概率分布列为所以随机变量的数学期望为知识点线性回归方程离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差解析分析利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法得出运动员举重成绩与运动员的体重的回归直线方程利用已知条件结合求出的线性回归方程和代入法进而得出该运动员的体重应该在公斤左右即参加的应该是公斤级举重利用已知条件求出随机变量的取值再利用组合数公式结合古典概型求概率公式进而求出随机变量的分布列再利用随机变量的分布列结合数学期望公式进而求出随机变量的数学期望答案解由已知有点的轨迹是以为焦点的椭圆其中点的轨迹方程解由可知为的重心2124由已知的斜率存在设直线的方程为由则由知识点椭圆的标准方程直线与圆锥曲线的综合问题解析分析由已知有再利用椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆进而求出的值再结合椭圆中三者的关系式进而求出的值从而求出椭圆的标准方程即求出点的轨迹方程由可知为的重心所以由已知的斜率存在设直线的方程为再利用直线与椭圆相交联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出根据再利用代入法得出由所以再利用弦长公式和点到直线的距离公式得出再利用三角形的面积公式得出的值进而求出的值2224答案解因为当函数在区间单调递增时函数在上无零点由时在只有一个零点当时函数在区间上单调递减在区间上单调递增注意时时所以即时无零点即时只有一个零点即时有两个零点综上所述当或时在只有一个零点当时无零点当时有两个零点方法二时函数在上无零点时由令则由则时单调递增时单调递减则做出简图由图可知注意时时2324当或即或时只有一个根即在只有一个零点当时即时有两个根即在有两个零点当时即时无实根即在无零点综上所述当或时在只有一个零点当时无零点当时有两个零点解由可知时有两个零点设两个零点分别为且由即所以即要证明即证需证再证然后证设则即证即令则故函数在上单调递增所以即有所以知识点利用导数研究函数的单调性极限及其运算分析法的思考过程特点及应用函数的零点与方程根的关系函数零点存在定理解析分析利用两种方法求解再结合已知条件和分类讨论的方法再利用求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理进而结合函数求极限的方法讨论出函数的零点个数由可知时有两个零点设两个零点分别为且由2424结合代入法得出所以从而得出再利用分析法证出不等式成立