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《对函数的再认识》知识点解读
知识点1 函数的概念 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x,y,对于自变量x在某一范围内的每一个确定值,y都有惟一的值与它对应,那么就说y是x的函数。
对于函数定义的理解,主要抓住以下三点： （1）有两个变量x,y； （2）一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化； （3）自变量x在某一范围内任意一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应。
“对于自变量x的每一个确定值，y都有惟一的值与它对应”，指的是x在自变量的取值范围内，x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与它对应，否则y就不是x的函数。例如：y=±x，当x=1时，y有两个值，所以y=±x不是函数关系。不同的自变量x的取值，y的值可以相同，如：y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1，y是x的函数。
例1 下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？ （1）矩形的面积一定，它的长与宽； （2）任意三角形的高与底。 解：（1）矩形的面积确定时，它的宽取一个值，就有惟一确定的y的值与宽对应，因此这是一个函数关系。 （2）当一个三角形的底取一个值时，它的高并不能确定，因此“三角形的高与底”不是函数关系。
例2 下面的表分别给出了变量x与y之间的对应关系，判断y是x的函数吗？如果不是，说明出理由.
1 2 3 4 5
3 6 9 12 15
1 2 3 2 1
2 5 10 -5 -2 解：（1）y是x的函数； （2）y不是x的函数，因为对于变量x=1，变量y有1与-1两个值与它对应。 说明：对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应。
知识点2 函数值 对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a,函数y有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当x=a时函数的值,简称函数值。
注意： （1）求函数值时，必须取自变量x的范围内的的值代人解析式中求值。 （2）求函数值的步骤和前面求代数式的值的方法一样。
例3 求下列函数当
时的函数值。 （1）
；（2）
解：（1） 当x=
时, y=3+2×
=2； （2） 当x=
时,
。
知识点3 函数的三种表示方法及其优缺点 函数的表示方法有：解析法、列表法、图象法。
（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法。 优点：简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系。 缺点：求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有些函数关系不一定能用解析式表达出来。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 优点：一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便。 缺点：有局限性，因为列出的对应值时有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律。 （3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 优点：形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象的把函数关系表示出来，能够直观的研究函数的一些性质。（例如，函数有没有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？函数值是随自变量的增大而增大，还是随自变量的增大而减小？等等） 缺点：通过函数图象只能得到近似的数量关系。
知识点4 自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量取值的全体，叫