北师大版初中数学八年级上册第七章平行线的证明： 命题、证明及平行线的判定定理(基础)含解析.doc

命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、定义与命题
1．请说出下列名词的定义： （1）无理数 （2）直角三角形 【答案与解析】 解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数. （2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 【总结升华】对学过的定义要准确地牢记. 举一反三： 【变式】指出下列句子哪些是定义. (1)两直线平行,内错角相等； (2)两腰相等的梯形叫等腰梯形； (3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； (4)等腰三角形的两底角相等； (5)平行四边形的对角线互相平分； (6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【答案】（2），（3），（6）是定义.
2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题： （1）如果
，那么
； （2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角. 【答案与解析】 解：（1）条件：
；结论：
.它是真命题. （2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角. 【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例. 举一反三： 【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（　　）. A．若
，则
B．若a＞b，则am＞bm C．两个等腰三角形必定相似 D．位似图形一定是相似图形 【答案】D 类型二、公理、定理及证明
3．证明：等角的余角相等． 【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明. 【答案与解析】 已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°. 求证：∠3＝∠4. 证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知） ∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质） ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠3=∠4（等量代换）. 【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”. 举一反三： 【变式】“垂线段最短”是（ ）. A．定义 B．定理 C．公理 D．不是命题 【答案】B 类型三、平行线的判定定理
4. （2019•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC． 【答案与解析】 解：OA∥BC，OB∥AC． ∵∠1=50°，∠2=50°， ∴∠1=∠2， ∴OB∥AC， ∵∠2=50°，∠3=130°， ∴∠2+∠3=180°， ∴OA∥BC． 【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 举一反三： 【变式】（2018•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个． （1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确； （2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误； （3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确． ∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个； 故选：C．
5.（2018•日照期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
【答案与解析】 证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD，∠CFE=∠E， ∴∠1=∠CFE=∠E， ∴∠2=∠E， ∴AD∥BC． 【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理． 举一反三： 【变式】已知，如图，EF(EG，GM(EG，(1=(2，AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】 解：AB∥CD．理由如下：如图： ∵ EF(EG，GM(EG (已知)， ∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)． 又∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)， 即∠3＝∠4． ∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)． 命题、证明及平行线的判定定理（基础）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1.下列命题中，属于定义的是（ ）. A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等 C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 2．下列真命题的个数是 ( ). ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②两条不相交的直线叫做平行线； ③在同一平面内不相交的两条射线是平行线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是 ( ). A．平行的性质 B．等量代换 C．平行于同一直线的两条直线平行. D．以上都不对 4．（2019•来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是( ). A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
5．如图所示，给出了过直线 EMBED Equation.DSMT4 
外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是 ( ).
A．同位角相等，两直线平行. B．内错角相等，两直线平行. C．同旁内角互补，两直线平行. D．以上都不对. 6．（2018•金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　 　）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2 D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD 二、填空题 7.（2019春•南和县期末）如