第1章三角形的证明 题型解读7 有关角平分线题型-北师大版八年级数学下册（含答案）.doc

《三角形的证明》题型解读7 有关角平分线题型 【知识梳理】 1.概念-----平分角； 2.性质 ①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ②三角形的三条角平分线分交于一点（内心）； 3.判定---在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 4.尺规作图------要求：会识别；依据：全等判定SSS 作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE使OD=OE； ②分别以D，E为圆心，以大于以大于 EQ \F(1,2) DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C； ③作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线 【方法梳理】 1.利用“角平分线的轴对称性”来构造全等三角形：(角分线，分两边，对称全等要记全) 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形
2.利用角平分线的性质构造全等三角形来解题(分线点，垂两边)
3.构造等腰三角形来解题：角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。
4.出现两条角平分线时的解题思路 ①利用典型数学模型求角度：两条角平分线与第三角的角度关系
②.利用三条角平分线相交于一点添辅助线解题
【典型例题】 例1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于 点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交 BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S∆DAC：S∆ABC=1：3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确； ③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=AC•AD： AC•AD=1：3．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D 例2.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　） A. a=b B. 2a+b=﹣1 C. 2a﹣b=1 D. 2a+b=1 解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选B 例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是____ 解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=12AB•DE=12×15×4=30． 例4．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于　　．
解析：考查角平分线性质、30度角直角三角形边角关系，数学典型模型“角平分线+平行线=等腰”，过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝12PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．
例5.证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出不完整的已知和求证。 （1）已知：如图，OC是∠AOC的角平分线，点P在OC上，_______，_______， 求证：__________.（请你补全已知和求证） （2）写出证明过程. 解析： （1）已知：如图，OC是∠AOC的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，求证：PD=PE. （2）证明过程： ∵OC是∠AOC的角平分线，∴∠AOP=∠BOP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90º,∵OP=OP,∴△OPD≌△OPE,∴PD=PE.