第1章三角形的证明 题型解读6 有关高线题型-北师大版八年级数学下册（含答案）.doc

《三角形的证明》题型解读6 有关高线题型 【知识梳理】 1.三角形三条高线会交于一点， 2.题目涉及“高线”（或“距离”），应联想到以下用途 ①联系面积问题 ②联想到可能会分类讨论--出现“界内高”或“界外高”情况 【典型例题】 例1.从边长为2的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为_______
思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接AD、BD、CD，看似乎与直角三角形有点联系，但各个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与面积的关系”这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于三个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整理化简，即可得到所需的结论。 解题过程：连接AD、BD、CD，由图可得：𝑆∆𝐴𝐵𝐶=𝑆∆𝐴𝐵𝐷+𝑆∆𝐵𝐶𝐷+𝑆∆𝐴𝐶𝐷，即边长×（边长×32）÷2=AB×DE÷2+BC×DF÷2+AC×DG÷2，∴2×（2×32）÷2=2×DE÷2+2×DF÷2+2×DG÷2，整理得：DE+DF+DG=3，即三条垂线段长的和为3.
例2.已知等边三角形ABC的边长为4，点D是BC的任意一点，则点D到AB、AC两边的距离之和是__________
思路分析：依照高在各种用途，我们可一一排除，来确定最终的思考方向。不是求一条线段的长，勾股定理可以先排除；从图形角度看，与三线合一及垂直平分线距离有点远，也不属于首先考虑范畴；连接AD，看似乎与直角三角形有点联系，但两个直角三角形题目给的条件或数据太少，暂不考虑，所以最终思路指向了“高与面积的关系”这条思路线。由图可知，等边三角形的面积会等于二个小三角形的面积，分别用公式法表示出来，整理化简，即可得到所需的结论。 解题过程：连接AD，由图可得：𝑆∆𝐴𝐵𝐶=𝑆∆𝐴𝐵𝐷+𝑆∆𝐴𝐶𝐷，即边长×（边长×32）÷2=AB×DE÷2+AC×DF÷2，∴4×（4×32）÷2=4×DE÷2+4×DF÷2，整理得：DE+DF =43，即点D到AB、AC两边的距离之和是43.
例3.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____ 解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48， OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S∆ACD=12S矩形ABCD=24，∴S∆A0D=12S∆ACD=12， ∵S∆AOD=S∆AOP+S∆DOP=12OA•PE+12OD•PF=12×5×PE+12×5×PF=52（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8． 例4．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　　cm．
【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×12AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=12AC•BF，将AC=AB 代入即可求出BF． 解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB•DE=AB•DE=3AB， ∵S△ABC=12AC•BF，∴12AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴12BF=3，∴BF=6． 例5.运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面 积法． （1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是　 　；（直接写出结论不必证明） （3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝34x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标． 【解析】几何综合题，压轴题，考查高线的应用，利用“解题思路的延续性”解题. （1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝12×AB×ME＝12×AB×h1，S△AMC＝12×AC×MF＝12×AC×h2， 又∵S△ABC＝12×AC×BD＝12×AC×h，∴12×AC×h＝12×AB×h1+12×AC×h2，∴h1+h2＝h． （2）h1﹣h2＝h． （3）在y＝
x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）， AB＝
＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形． ①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：1+My＝OB，My＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝13
， ∴M（13，2）； ②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：My﹣1＝OB，My＝3+1＝4，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝﹣