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上传于：2024-06-19
命题与证明
证明与反证法（2）
一．教学目标
1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.
2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.
重点：反证法证题的步骤.
难点：理解反证法的推理依据及方法.
教学方法讲练结合教学.
教学过程
一、提问：
1、通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
2、本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
共分三步：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
二、探究
P57例题2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角。
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于600
课本上这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知
例1 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设，∠B ＝ ∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．
∴∠B ≠ ∠ C
小结： 反证法的步骤：
假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确。
例2 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 ∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾
四、练习
1、 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
2、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）
已知： ；
求证： ；
证明：假设 ，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。
∴ 。
五、课时小结
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。
六、课后作业：
P60 B组 9
七、板书设计
证明与反证法（2）
1.反证法证明命题的步骤。
2.反证法应用：例题