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善与恶
上传于：2024-06-08
第2课时 定理与证明
1．经历探索定理证明的过程，获得探索数学结论的体验，进一步发展学生的探究、分析、归纳与交流能力．
2．掌握定理证明的方法，会运用公理、定理及其推论进行简单的证明．
重点：知道什么是公理，什么是定理，什么是证明．
难点：理解证明的步骤和格式，体会证明的严密性．
一、导入新课
举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证明一个命题是真命题呢？
二、探究新知
探究 【想一想】如何证明一个命题是真命题？
(1)能否用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法证明？
(2)能不能根据已经知道的真命题证实呢？
学生通过探究、讨论、交流，可以达成共识：
(1)这些方法往往不可靠．
(2)已知知道的真命题又该如何证实？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题．古希腊数学家欧几里得解决了这个问题．
挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理．
除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断．
演绎推理的过程称为证明．经过证明的真命题称为定理．
每个定理只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明．
说明：此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质、以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据．
等量代换：如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
【探讨】我们可以证明已经探索过的结论有哪些？
学生通过讨论交流，回忆已经探索过的结论．
定理：同角(或等角)的余角相等．
定理：同角(或等角)的补角相等．
定理：三角形的任意两边之和大于第三边．
问题：已知：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．
求证：∠AOC＝∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)，
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．
∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．
由上面的例题，我们可以得到定理：
对顶角相等．
三、新知归纳
1．公认的真命题称为公理．
(1)除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断．
(2)演绎推理的过程称为证明．
(3)经过证明的真命题称为定理．
(4)每个定理只能用公理、定义、和已经证明为真的命题来证明．
2．我们已经学过的公理有：
(1)两点确定一条直线．
(2)两点之间线段最短．
(3)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(4)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
(5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
(6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
(7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
(8)三边分别相等的两个三角形全等．
3．定理：同角(或等角)的余角相等．
定理：同角(或等角)的补角相等．
定理：三角形的两边之和大于第三边．
定理：对顶角相等．
四、典例剖析
例1 下列说法正确的是( )
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
思路分析：真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确：公理是公认的真命题，不需要证明，故选项B正确．
答案：B
例2 已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2.
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求证：AD平分∠BAC.
思路分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠BAD＝∠CAD，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出EF∥AD，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
∴∠ADC＝∠EFC＝90°，
∴EF∥AD(同位角相等，两直线平行)．
∴∠1＝∠BAD(两直线平行，内错角相等)，
∠2＝∠CAD(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．
例3 如图，AOB是一条直线，∠AOD∶∠DOB＝3∶